又一道外国微积分题目,求详解
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/03 21:25:42
又一道外国微积分题目,求详解
就做第20题,a和b我做完了,只剩下c和d,做的时候或许要用到前面的已知条件.最后答案是π/2.
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/11/f11a6739e90d38060c5f86e95b3df7d9.jpg)
就做第20题,a和b我做完了,只剩下c和d,做的时候或许要用到前面的已知条件.最后答案是π/2.
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![又一道外国微积分题目,求详解](/uploads/image/z/2416454-62-4.jpg?t=%E5%8F%88%E4%B8%80%E9%81%93%E5%A4%96%E5%9B%BD%E5%BE%AE%E7%A7%AF%E5%88%86%E9%A2%98%E7%9B%AE%2C%E6%B1%82%E8%AF%A6%E8%A7%A3)
(c) J(m)-J(m+1)=∫[0->π/2](sinx)^m(1-sinx)dx
for any x∈(0,π/2),(sinx)^(m)≥0,1-sinx≥0,
hence J(m)≥J(m+1),for any m∈N
And,J(m+1)=[m/(m+1)]*J(m-1),1≤J(m-1)/J(m)
=> m/(m+1)≤[m/(m+1)]*J(m-1)/J(m)=J(m+1)/J(m)≤1
=> lim(m->∞)J(m+1)/J(m)=1
(d) lim(n->∞)(2²/1x3)x(4²/3x5)x...x(2n)²/(2n-1)(2n+1)
=(π/2)lim(n->∞)J(2n+1)/J(2n)
=π/2
再问: 第四行开始不太明白,能解释一下思路吗。还有,d部分那个π/2和J(2n+1)/J(2n)是怎样来的,谢谢!
再答: 由(a)的结论,有J(m+1)=[m/(m+1)]*J(m-1), ∴J(m+1)/J(m)=[m/(m+1)]*J(m-1)/J(m) ∵J(m-1)/J(m)≥1 ∴J(m+1)/J(m)≥m/(m+1) 又m/(m+1)≤J(m+1)/J(m)≤1,令m->∞,得 1≤lim(m->∞)J(m+1)/J(m)≤1 ∴lim(m->∞)J(m+1)/J(m)=1 由part (b),直接带入J(2n+1)和J(2n)的表达式,就得到 (π/2)J(2n+1)/J(2n)=(2²/1x3)x(4²/3x5)x...x[(2n)²/(2n-1)(2n+1)] 令n->∞,再由part (c) 即得 lim(n->∞)(2²/1x3)x(4²/3x5)x...x[(2n)²/(2n-1)(2n+1)]=π/2
for any x∈(0,π/2),(sinx)^(m)≥0,1-sinx≥0,
hence J(m)≥J(m+1),for any m∈N
And,J(m+1)=[m/(m+1)]*J(m-1),1≤J(m-1)/J(m)
=> m/(m+1)≤[m/(m+1)]*J(m-1)/J(m)=J(m+1)/J(m)≤1
=> lim(m->∞)J(m+1)/J(m)=1
(d) lim(n->∞)(2²/1x3)x(4²/3x5)x...x(2n)²/(2n-1)(2n+1)
=(π/2)lim(n->∞)J(2n+1)/J(2n)
=π/2
再问: 第四行开始不太明白,能解释一下思路吗。还有,d部分那个π/2和J(2n+1)/J(2n)是怎样来的,谢谢!
再答: 由(a)的结论,有J(m+1)=[m/(m+1)]*J(m-1), ∴J(m+1)/J(m)=[m/(m+1)]*J(m-1)/J(m) ∵J(m-1)/J(m)≥1 ∴J(m+1)/J(m)≥m/(m+1) 又m/(m+1)≤J(m+1)/J(m)≤1,令m->∞,得 1≤lim(m->∞)J(m+1)/J(m)≤1 ∴lim(m->∞)J(m+1)/J(m)=1 由part (b),直接带入J(2n+1)和J(2n)的表达式,就得到 (π/2)J(2n+1)/J(2n)=(2²/1x3)x(4²/3x5)x...x[(2n)²/(2n-1)(2n+1)] 令n->∞,再由part (c) 即得 lim(n->∞)(2²/1x3)x(4²/3x5)x...x[(2n)²/(2n-1)(2n+1)]=π/2