如何证明2的自然对数是无理数(详细一些)请用高中知识点
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/17 20:49:44
如何证明2的自然对数是无理数(详细一些)请用高中知识点
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设ln2=m/n,其中m,n为既约分数,则
2^m=e^n
前者显然是有理数,而后者为无理数,不可能相等,矛盾!
注:上述证明用到一个性质:e是超越数,因此e^n为无理数
再问: 那若是2的常用对数呢?怎么证明?
再答: 设lg2=m/n,则 2^n=10^m 前者个位数只能是2,4,6,8 而后者个位数为0 不可能相等
2^m=e^n
前者显然是有理数,而后者为无理数,不可能相等,矛盾!
注:上述证明用到一个性质:e是超越数,因此e^n为无理数
再问: 那若是2的常用对数呢?怎么证明?
再答: 设lg2=m/n,则 2^n=10^m 前者个位数只能是2,4,6,8 而后者个位数为0 不可能相等