搜搜做题作业网证明题和求证
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/24 12:15:14
已知矩形ABCD,过点A作SA⊥平面AC，再过点A作AE⊥SB于点E，过点E作EF⊥SC于点F。 求证：AF⊥SC 若平面AEF交SD于点G，求证AG⊥SD
解题思路： 反复利用线面垂直、线线垂直的有关定理，进行相互转化。
解题过程：
已知矩形ABCD，过点A作SA⊥平面AC，再过点A作AE⊥SB于点E，过点E作EF⊥SC于点F。 （1）求证：AF⊥SC； （2）若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．
证明：(1) ∵ SA⊥平面ABCD， ∴ SA⊥BC， 又∵ AB⊥BC， ∴ BC⊥平面SAB， 而 AE在平面SAB内， ∴ BC⊥AE， 即 AE⊥BC， 又∵ AE⊥SB， ∴ AE⊥平面SBC， ∴ AE⊥SC， 又∵ EF⊥SC， ∴ SC⊥平面AEF， ∴ SC⊥AF， 即 AF⊥SC； (2) 若平面AEF交SD于点G， ∵ SC⊥平面AEFG， ∴ SC⊥AG， ∵ SA⊥平面ABCD， ∴ SA⊥DC， 又 AD⊥DC， ∴ DC⊥平面SAD， ∴ DC⊥AG， ∴ AG⊥平面SCD， ∴ AG⊥SD（证毕）.
解题过程：
已知矩形ABCD，过点A作SA⊥平面AC，再过点A作AE⊥SB于点E，过点E作EF⊥SC于点F。 （1）求证：AF⊥SC； （2）若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．
证明：(1) ∵ SA⊥平面ABCD， ∴ SA⊥BC， 又∵ AB⊥BC， ∴ BC⊥平面SAB， 而 AE在平面SAB内， ∴ BC⊥AE， 即 AE⊥BC， 又∵ AE⊥SB， ∴ AE⊥平面SBC， ∴ AE⊥SC， 又∵ EF⊥SC， ∴ SC⊥平面AEF， ∴ SC⊥AF， 即 AF⊥SC； (2) 若平面AEF交SD于点G， ∵ SC⊥平面AEFG， ∴ SC⊥AG， ∵ SA⊥平面ABCD， ∴ SA⊥DC， 又 AD⊥DC， ∴ DC⊥平面SAD， ∴ DC⊥AG， ∴ AG⊥平面SCD， ∴ AG⊥SD（证毕）.