设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(其中k∈R).
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/26 00:47:05
设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(其中k∈R).
(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)当k∈[0,+∞)时,证明函数f(x)在R上有且只有一个零点.
(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)当k∈[0,+∞)时,证明函数f(x)在R上有且只有一个零点.
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(1)当k=1时,f(x)=(x-1)ex-x2,
∴f′(x)=ex+(x-1)ex-2x=xex-2x=x(ex-2),
令f′(x)=0,得x1=0,x2=ln2,
当x<0时,f′(x)>0,则f(x)在(-∞,0)上单调递增,
当0<x<ln2时,f′(x)<0,则f(x)在(-∞,0)上单调递减,
当x>ln2时,f′(x)>0,则f(x)在(-∞,0)上单调递增,
∴当f(x)的单调递减区间为(0,ln2),单调递增区间为(-∞,0)和(ln2,+∞),
极大值为f(0)=-1,极小值为f(ln2)=-(ln2)2+2ln2-2;
(2)证明:∵f(x)=(x-1)ex-Kx2(其中k∈R).
∴f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=xex-2kx=x(ex-2k),
当x<1时,f(x)<0,则f(x)在(-∞,1)上无零点,
∴只需证明函数f(x)在[1,+∞)上有且只有一个零点,
①若k∈[0,
e
2],
当x≥1时,f′(x)≥0,则f(x)在[1,+∞)上单调递增,
∵f(1)=-k≤0,f(2)=e2-4k≥e2-2e>0,
∴f(x)在[1,+∞)有且只有一个零点;
②若k∈(
e
2,+∞),则f(x)在[1,ln2k)上单调递减,(ln2k,+∞)上单调递增,
∵f(1)=-k<0,f(k+1)=kek+1-k(k+1)2=k[ek+1-(k+1)2],
令g(t)=et-t2,t=k+1>2,则g′(t)=et-2t,g″(t)=et-2,
∵t>2,则g″(t)>0,g′(t)在[2,+∞)上单调递增,
∴g′(t)≥g′(2)=e2-4>0,
∴g(t)在[2,+∞)上单调递增,g(t)≥g(2)=e2-4>0,
∴f(k+1)>0,
∴f(x)在[1,+∞)上有且只有一个零点,
综上所述,f(x)在R上有且只有一个零点.
∴f′(x)=ex+(x-1)ex-2x=xex-2x=x(ex-2),
令f′(x)=0,得x1=0,x2=ln2,
当x<0时,f′(x)>0,则f(x)在(-∞,0)上单调递增,
当0<x<ln2时,f′(x)<0,则f(x)在(-∞,0)上单调递减,
当x>ln2时,f′(x)>0,则f(x)在(-∞,0)上单调递增,
∴当f(x)的单调递减区间为(0,ln2),单调递增区间为(-∞,0)和(ln2,+∞),
极大值为f(0)=-1,极小值为f(ln2)=-(ln2)2+2ln2-2;
(2)证明:∵f(x)=(x-1)ex-Kx2(其中k∈R).
∴f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=xex-2kx=x(ex-2k),
当x<1时,f(x)<0,则f(x)在(-∞,1)上无零点,
∴只需证明函数f(x)在[1,+∞)上有且只有一个零点,
①若k∈[0,
e
2],
当x≥1时,f′(x)≥0,则f(x)在[1,+∞)上单调递增,
∵f(1)=-k≤0,f(2)=e2-4k≥e2-2e>0,
∴f(x)在[1,+∞)有且只有一个零点;
②若k∈(
e
2,+∞),则f(x)在[1,ln2k)上单调递减,(ln2k,+∞)上单调递增,
∵f(1)=-k<0,f(k+1)=kek+1-k(k+1)2=k[ek+1-(k+1)2],
令g(t)=et-t2,t=k+1>2,则g′(t)=et-2t,g″(t)=et-2,
∵t>2,则g″(t)>0,g′(t)在[2,+∞)上单调递增,
∴g′(t)≥g′(2)=e2-4>0,
∴g(t)在[2,+∞)上单调递增,g(t)≥g(2)=e2-4>0,
∴f(k+1)>0,
∴f(x)在[1,+∞)上有且只有一个零点,
综上所述,f(x)在R上有且只有一个零点.
已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R. 若a=-1存在k∈R使得方程f(x)=k有3
设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
已知函数f(x)=kx2+(3+k)x+3,其中k为常数,且k≠0.
设函数f(x)=ex-e-x
设函数f(x)=x(ex-ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数a=______.
(2013•陕西)已知函数f(x)=ex,x∈R.
(2014•漳州二模)已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R.
设函数f(x)=ex-1-x-ax2.
已知函数f(x)=ex,x∈R.
设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.
已知函数f(x)=ln(x+1)+kx 其中(k∈R)
若函数f(x)=(x+1)/(kx2+4kx+3)的定义域为R,求实数k的取值范围