如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=BC=1,BB1=2,连接B1C,过B点作B1C.的垂线交CC1于E,
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/15 15:56:34
如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=BC=1,BB1=2,连接B1C,过B点作B1C.的垂线交CC1于E,交B1C于F.(I�
如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=BC=1,BB1=2,连接B1C,过B点作B1C.
的垂线交CC1于E,交B1C于F.
(I)求证:A1C⊥平面EBD;
(Ⅱ)求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值.
如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=BC=1,BB1=2,连接B1C,过B点作B1C.
的垂线交CC1于E,交B1C于F.
(I)求证:A1C⊥平面EBD;
(Ⅱ)求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值.
法一:(I)证明:连接AC,由底面ABCD为正方形,得AC⊥DB.
∵AC是A1C在平面ABCD内的射影,∴A1C⊥BD
又∵A1B1⊥平面BB1C1C,且A1C在平面BB1C1C内的射影B1C⊥BE,
∴A1C⊥BE,又BE∩BD=B∴A1C⊥平面EBD
(Ⅱ)连接DF,A1D∵EF⊥B1C,EF⊥A1C
∴EF⊥平面A1B1C∴∠EDF即为直线ED与平面A1B1C所成的角
由条件AB=BC=1,BB1=2
可知B1C=
5,BF=
2
5
5,B1F=
4
5
5,CF=
5
5
EF=
FC?BF
B1F=
5
10,EC=
FC?BB1
B1F=
1
2
∴ED=
EC2+CD2=
5
2∴sinEDF=
EF
ED=
1
5
解法二:(I)证明:如图以A为原点,建立空间直角坐标系A-xyz,
则∵
A1C?
BE=1×0+1×1+(?2)×
1
2=0,
A1C?
DE=1×1+1×0+(?2)×
1
2=0
∴
A1C⊥
BE,
A1C⊥
DE,
即A1C⊥BE,A1C⊥DE∵BE∩DE=E∴A1C⊥平面EBD;
(Ⅱ)设平面A1B1C的一个法向量为
m=(x,y,z)
则
A1B1?m=0
∵AC是A1C在平面ABCD内的射影,∴A1C⊥BD
又∵A1B1⊥平面BB1C1C,且A1C在平面BB1C1C内的射影B1C⊥BE,
∴A1C⊥BE,又BE∩BD=B∴A1C⊥平面EBD
(Ⅱ)连接DF,A1D∵EF⊥B1C,EF⊥A1C
∴EF⊥平面A1B1C∴∠EDF即为直线ED与平面A1B1C所成的角
由条件AB=BC=1,BB1=2
可知B1C=
5,BF=
2
5
5,B1F=
4
5
5,CF=
5
5
EF=
FC?BF
B1F=
5
10,EC=
FC?BB1
B1F=
1
2
∴ED=
EC2+CD2=
5
2∴sinEDF=
EF
ED=
1
5
解法二:(I)证明:如图以A为原点,建立空间直角坐标系A-xyz,
则∵
A1C?
BE=1×0+1×1+(?2)×
1
2=0,
A1C?
DE=1×1+1×0+(?2)×
1
2=0
∴
A1C⊥
BE,
A1C⊥
DE,
即A1C⊥BE,A1C⊥DE∵BE∩DE=E∴A1C⊥平面EBD;
(Ⅱ)设平面A1B1C的一个法向量为
m=(x,y,z)
则
A1B1?m=0
长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,BB1=2,连接B1C,过B作B1C的垂线交CC1于E,交B1C于F
(2008•宣武区一模)如图,已知长方体AC1中,AB=BC=1,BB1=2,连接B1C,过B点作B1C的垂线交CC1于
已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,BB1=2.求异面直线B1C与A1C
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,BB1=2,E是棱CC1上的点,且CE=14CC1.
如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1,且AB=1,BC=2,AA1=2.求直线B1C与平面B1BD
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已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°.点E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB
已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°.点E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,AA1=1,求异面直线B1C和A1B所成角的余弦值
长方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1=BC,P为C1D1上一点,则异面直线PB与B1C所成角的大小( )