已知函数f(x)=mx^3-x的图像上、以(1,n)为切点的切线的倾斜角为45度.

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/01 07:12:18

已知函数f(x)=mx^3-x的图像上、以(1,n)为切点的切线的倾斜角为45度.
(1)求m、n的值
（2）是否存在最小的正整数K,使得不等式f（x）＜=k-1992对于x∈[-1,3]恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k,如果不存在,请说明理由.
（3）求证|f（sinx）+f（cosx）|＜=2f（t+1\2t） ,（x∈R,t＞0）
非常急、越快越好、

（1）f'(x)=3mx^2-1
f'(1)=3m-1=1
∴m=2/3
f(1)=m-1=n
∴n=-1/3
（2）f(x)=(2/3)x^3-x
f'(x)=2x^2-1
f'(x)=0的两根是x=±√2/2
所以当x＜-√2/2或x＞√2/2时,f'(x)＞0,f(x)单调递增.
当-√2/2＜x＜√2/2时,f'(x)＜0,f(x)单调递减.
在区间[-1,3]内,作如下讨论：
x∈[-1,-√2/2)时,f(x)单调递增.
f(x)＜f(-√2/2)=√2/3
x∈[-√2/2,√2/2)时,f(x)单调递减.
f(x)＜f(-√2/2)=√2/3
x∈[√2/2,3]时,f(x)单调递增.
f(x)＜f(3)=15
综上,f(x)在[-1,3]上的最大值为15
当k-1992≥15时,不等式恒成立.
k的最小值为2007.
（3）t+1/2t≥2√(t*1/2t)=√2
当x≥√2时,函数f(x)单调递增.
∴f(t+1/2t)≥f(√2)=√2/3
-f(t+1/2t)≤-f(√2)=-√2/3
-1≤sinx≤1
所以,可求得,
f(sinx)的最大值为f(-√2/2)=√2/3=f(√2)
f(-sinx)的最大值也为f(-√2/2)=√2/3=f(√2)
同理
f(cosx)与f(-cosx)的最大值均为f(-√2/2)=√2/3=f(√2)
即,f(sinx)≤f(√2)
f(-sinx)≤f(√2)
f(cosx)≤f(√2)
f(-cosx)≤f(√2)
∴f(sinx)+f(cosx)-2f(√2)≤0
∴f(sinx)+f(cosx)≤2f(√2)≤f(t+1/2t)
又2f(√2)-f(-sinx)-f(-cosx)≥0
f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)
∴2f(√2)+f(sinx)+f(cosx)≥0
-2f(√2)≤f(sinx)-f(cosx)
所以,命题得证.

已知函数f(x)=mx^3-x的图像上、以(1,n)为切点的切线的倾斜角为45度. 关于导数的题设函数f(x)=x-2ln(x+1)在函数f(x)图像上求两点使以这两点为切点的切线互相垂直且这两切点的横已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c,且以曲线y=f(x)上的点P（1,f(1))为切点的切线方程为y=3x+1 已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c,且以曲线y=f(x)上的点P（1,f(1))为切点的切线方程为y=3x+z 已知函数f(x)=-x^3+ax-4,若函数y=f(x))的图像在点P(1,f(1))处的切线的倾斜角为45,求a 若函数f(x)的导数为fˊ(x)=-sinx,则函数图像在点(π/3,f(π/3)处的切线的倾斜角为已知函数f(x)=-x^3+ax^2-4(a∈R) 若函数y=f(x)的图像在点P(1,f(-1))处的切线的倾斜角为4 有关导数的几何意义P(1,2)为函数F(X)=1+X^3图像上一点`求以P点位切线的切线斜率已知函数f(x)=n+Inx的图像在点P(m,f(m))处的切线方程为y=x设g(x)=mx-n/x-2Inx 若函数f(x)=(e^x)sinx则此函数图像在（3f(3)）处的切线的倾斜角为急用：已知函数f(x)=x^3 + (m-4)x^2 -3mx + (n-6) (x∈R)的图像关于原点对称,m,n为常若函数y=x³／3－x²＋1的图像上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是多少?