被椭圆c截得的弦长为2,过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截得的弦长是长轴长的2

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/30 12:39:07

被椭圆c截得的弦长为2,过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截得的弦长是长轴长的2
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)过直线l1：x/a-y/b=1被椭圆C截得的弦长为2倍根号2,过椭圆的右焦点且斜率为根号3的直线l2被椭圆截得的弦长是长轴长的2/5,求椭圆方程

由x/a-y/b=1得直线是过椭圆长轴和短轴端点的,即
a²+b²=(2√2)²=8 ……①
设过椭圆的右焦点且斜率为根号3的直线l2方程为y=3(x-c)代入x^2/a^2+y^2/b^2=1得
（1/a²+9/b²）x²-6c/b² x+(9c²/b²-1)=0
x₁+x₂＝6c/[(b²／a²)＋9],x₁x₂=(9c²/b²-1)/(1/a²+9/b²)=(9c²-b²)/[(b²／a²)＋9]
弦长=√{(1+9)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]}=2a×2/5,即
10×【{6c/[(b²／a²)＋9]}²-{4(9c²-b²)/[(b²／a²)＋9]}】=16a²/25 化简得
125｛9c²-(9c²-b²)[(b²/a²)+9]｝=2a²[(b²/a²)+9]² ……②
c²=a²-b²……③
由①②③得
a²= b²＝
（运算量有点大,请自己计算吧）