如题过点(a,b)的两个圆均于两坐标轴相切,它们的半径分别为r1,r2,求证r1*r2=a^2+b^2说的清晰的话给40
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 04:49:32
如题
过点(a,b)的两个圆均于两坐标轴相切,它们的半径分别为r1,r2,求证r1*r2=a^2+b^2
说的清晰的话给40分~
过点(a,b)的两个圆均于两坐标轴相切,它们的半径分别为r1,r2,求证r1*r2=a^2+b^2
说的清晰的话给40分~
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在这里不妨设a,b>0不影响题目,那么
显然,这两圆的方程分别为
(x-R1)^2+(y-R1)^2=R1^2
(x-R2)^2+(y-R2)^2=R2^2
因为(a,b)均在两圆上,故均有
(a-R1)^2+(b-R1)^2=R1^2
(a-R2)^2+(b-R2)^2=R2^2
故R1,R2为关于r的方程
(a-r)^2+(b-r)^2=r^2的两根
方程变形为
r^2-(2a+2b)r+(a^2+b^2)=0
由韦达定理知R1R2=a^2+b^2
参考以下做法:
知道上无法画图,请自己根据题意画图.
已知两圆圆心分别为O1(r1,r1)、O2(r2,r2),两圆交点之一为M(a,b)
MO1两点间距离的平方为:
(a-r1)^2+(b-r1)^2=r1^2
a^2-2a*r1+r1^2+b^2-2b*r1+r1^2=r1^2
a^2+b^2-2(a+b)*r1+r1^2=0
化简得:2(a+b)*r1-r1^2=a^2+b^2 (1)式
MO2两点间距离的平方为:
(a-r2)^2+(b-r2)^2=r2^2
化简得:2(a+b)*r2-r2^2=a^2+b^2 (2)式
由(1)式-(2)式可得出:
2(a+b)*(r1-r2)=r1^2-r2^2
2(a+b)*(r1-r2)=(r1-r2)*(r1+r2)
因为r1不等于r2,所以
2(a+b)=r1+r2 (3)式
把(3)式代入(1)式得:
(r1+r2)*r1-r1^2=a^2+b^2
化简得:r1r2=a^2+b^2
我不清楚是否还讨论象限,只要两圆在同一象限内,方法一致.如果两圆不在同一象限内,则两圆相切,且切点在坐标轴上,此时
(1)r1=r2=a的绝对值(相切x轴),r1r2=r1^2=a^2(b=0)
(2)r1=r2=b的绝对值(相切y轴),r1r2=r1^2=b^2(a=0)
显然,这两圆的方程分别为
(x-R1)^2+(y-R1)^2=R1^2
(x-R2)^2+(y-R2)^2=R2^2
因为(a,b)均在两圆上,故均有
(a-R1)^2+(b-R1)^2=R1^2
(a-R2)^2+(b-R2)^2=R2^2
故R1,R2为关于r的方程
(a-r)^2+(b-r)^2=r^2的两根
方程变形为
r^2-(2a+2b)r+(a^2+b^2)=0
由韦达定理知R1R2=a^2+b^2
参考以下做法:
知道上无法画图,请自己根据题意画图.
已知两圆圆心分别为O1(r1,r1)、O2(r2,r2),两圆交点之一为M(a,b)
MO1两点间距离的平方为:
(a-r1)^2+(b-r1)^2=r1^2
a^2-2a*r1+r1^2+b^2-2b*r1+r1^2=r1^2
a^2+b^2-2(a+b)*r1+r1^2=0
化简得:2(a+b)*r1-r1^2=a^2+b^2 (1)式
MO2两点间距离的平方为:
(a-r2)^2+(b-r2)^2=r2^2
化简得:2(a+b)*r2-r2^2=a^2+b^2 (2)式
由(1)式-(2)式可得出:
2(a+b)*(r1-r2)=r1^2-r2^2
2(a+b)*(r1-r2)=(r1-r2)*(r1+r2)
因为r1不等于r2,所以
2(a+b)=r1+r2 (3)式
把(3)式代入(1)式得:
(r1+r2)*r1-r1^2=a^2+b^2
化简得:r1r2=a^2+b^2
我不清楚是否还讨论象限,只要两圆在同一象限内,方法一致.如果两圆不在同一象限内,则两圆相切,且切点在坐标轴上,此时
(1)r1=r2=a的绝对值(相切x轴),r1r2=r1^2=a^2(b=0)
(2)r1=r2=b的绝对值(相切y轴),r1r2=r1^2=b^2(a=0)
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