(2014•陕西)设函数f(x)=lnx+mx,m∈R.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/19 02:35:39
(2014•陕西)设函数f(x)=lnx+
m |
x |
![(2014•陕西)设函数f(x)=lnx+mx,m∈R.](/uploads/image/z/17869419-27-9.jpg?t=%EF%BC%882014%E2%80%A2%E9%99%95%E8%A5%BF%EF%BC%89%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%3Dlnx%2Bmx%EF%BC%8Cm%E2%88%88R%EF%BC%8E)
(Ⅰ)当m=e时,f(x)=lnx+
e
x,
∴f′(x)=
x−e
x2;
∴当x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)在(0,e)上是减函数;
当x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上是增函数;
∴x=e时,f(x)取得极小值f(e)=lne+
e
e=2;
(Ⅱ)∵函数g(x)=f′(x)-
x
3=
1
x-
m
x2-
x
3(x>0),
令g(x)=0,得m=-
1
3x3+x(x>0);
设φ(x)=-
1
3x3+x(x≥0),
∴φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1);
当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上是增函数,
当x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上是减函数;
∴x=1是φ(x)的极值点,且是极大值点,
∴x=1是φ(x)的最大值点,
∴φ(x)的最大值为φ(1)=
2
3;
又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象,如图
;
可知:
①当m>
2
3时,函数g(x)无零点;
②当m=
2
3时,函数g(x)有且只有一个零点;
③当0<m<
2
3时,函数g(x)有两个零点;
④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;
综上,当m>
2
3时,函数g(x)无零点;
当m=
2
3或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;
当0<m<
2
3时,函数g(x)有两个零点;
(Ⅲ)对任意b>a>0,
f(b)−f(a)
b−a<1恒成立,
等价于f(b)-b<f(a)-a恒成立;
设h(x)=f(x)-x=lnx+
m
x-x(x>0),
∴h(x)在(0,+∞)上单调递减;
∵h′(x)=
1
x-
m
x2-1≤0在(0,+∞)上恒成立,
∴m≥-x2+x=-(x−
1
2)2+
1
4(x>0),
∴m≥
e
x,
∴f′(x)=
x−e
x2;
∴当x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)在(0,e)上是减函数;
当x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上是增函数;
∴x=e时,f(x)取得极小值f(e)=lne+
e
e=2;
(Ⅱ)∵函数g(x)=f′(x)-
x
3=
1
x-
m
x2-
x
3(x>0),
令g(x)=0,得m=-
1
3x3+x(x>0);
设φ(x)=-
1
3x3+x(x≥0),
∴φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1);
当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上是增函数,
当x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上是减函数;
∴x=1是φ(x)的极值点,且是极大值点,
∴x=1是φ(x)的最大值点,
∴φ(x)的最大值为φ(1)=
2
3;
又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象,如图
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/30/1305c8bca608116c2b951d520e7f41d6.jpg)
可知:
①当m>
2
3时,函数g(x)无零点;
②当m=
2
3时,函数g(x)有且只有一个零点;
③当0<m<
2
3时,函数g(x)有两个零点;
④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;
综上,当m>
2
3时,函数g(x)无零点;
当m=
2
3或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;
当0<m<
2
3时,函数g(x)有两个零点;
(Ⅲ)对任意b>a>0,
f(b)−f(a)
b−a<1恒成立,
等价于f(b)-b<f(a)-a恒成立;
设h(x)=f(x)-x=lnx+
m
x-x(x>0),
∴h(x)在(0,+∞)上单调递减;
∵h′(x)=
1
x-
m
x2-1≤0在(0,+∞)上恒成立,
∴m≥-x2+x=-(x−
1
2)2+
1
4(x>0),
∴m≥
已知函数f(x)=lnx-mx(m R).
已知m∈R,设函数f(x)=x3-3(m+1)x2+12mx+1.
已知函数f(x)=lnx-mx+m,m∈R,若f(x)≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围.
已知函数f(x)=lnx mx².m属于R.求f(x)单调区间
设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax.(a∈R)
已知m∈R,函数f(x)=(x2+mx+m)ex.
(2013•陕西)已知函数f(x)=ex,x∈R.
已知函数f(x)=lnx-mx+m,m∈R ,求函数f(x)的单调区间
已知函数f(x)=lnx+mx²(m∈R) (1)求函数f(x)的单调区间;(2)若m=0,A(a,f(a))
(2010•浙江模拟)已知函数f(x)=-(2m+2)lnx+mx-m+2x(m≥-1).
设函数f(x)=mx^2-mx-1,对于m∈[-2,2]f(x)
设函数f(x)=lnx-2ax.