定义在R的函数y=f(x),f(0)不等于0,当x>0时,f(x)>1,且对任意a,b属于R,都有f(a+b)=f(a)

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/02 10:42:35

定义在R的函数y=f(x),f(0)不等于0,当x>0时,f(x)>1,且对任意a,b属于R,都有f(a+b)=f(a)*f(b)
(1)证明f(0)=1
(2)证明:对任意x属于R,恒有f(x)>0
(3)若f(x)>1/f(2x-x^2),求x的取值范围

(1)证明：对f(a+b)=f(a)*f(b),令a=0,b=0得f(0)=f(0)*f(0),结合已知f(0)≠0解得f(0)=1.
(2)证明：由已知当x>0时,f(x)>1>0,前一问又得出,当x=0时,f(0)=1>0,下面看看x0,所以f(-x)>1>0
从而得到f(x)>0
综上所述,当x>0,x=0,x0,所以对任意x∈R,恒有f(x)>0.
(3)记x1>x2,则x1-x2>0,进而f(x1-x2)>1,则
f(x1)/f(x2)=f(x1-x2+x2)/f(x2)=f(x1-x2)*f(x2)/f(x2)=f(x1-x2)>1
从而有f(x1)>f(x2)
所以f(x)在x∈R为增函数,
对f(x)>1/f(2x-x²)变形得
f(x)*f(2x-x²)>1,
f(x+2x-x²)>1=f(0),
f(3x-x²)>f(0),
所以3x-x²>0,
解不等式得0