已知函数f(x)=ax+bx-1满足以下两个条件:①函数f(x)的值域为[-2,+∞];②对于x∈R,恒有f(-1+x)
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/05 23:45:08
已知函数f(x)=ax+bx-1满足以下两个条件:①函数f(x)的值域为[-2,+∞];②对于x∈R,恒有f(-1+x)=f(-1-x)
(1)求f(x)的解析式
(2)设F(x)=f(-x)-kf(x),若F(x)在[-2,2]上是减函数,求实数k的取值范围.
(1)求f(x)的解析式
(2)设F(x)=f(-x)-kf(x),若F(x)在[-2,2]上是减函数,求实数k的取值范围.
函数应该是f(x)=ax²+bx-1
(1),由f(x)的值域是【-2,+∞)可知,a>0且f(x)的最小值为-2.
由对x∈R,恒有f(-1-x)=f(-1+x)可知,x=-1是二次函数f(x)的对称轴.
∴ -b/2a=-1
∴ b=2a
同时,由x=-1是二次函数f(x)的对称轴,且a>0(即二次函数图象开口向上),则f(-1)是二次函数的最小值
∴ f(-1)=a-b-1=a-2a-1=-a-1=-2
∴ a=1
∴ b=2a=2
所以,f(x)的解析式为f(x)=x²+2x-1
(2),F(x)=f(-x)-kf(x)=(x²-2x-1)-k(x²+2x-1)=(1-k)x²-(2+2k)x+(k-1)
以下将k的取值分情况讨论:
1° k=1,则F(x)是一次函数,F(x)=-4x
显然,该函数在x∈【-2,2】区间内为减函数.
∴ k=1符合题设要求.
2° k>1,则F(x)图象开口向下
那么为使F(x)在x∈【-2,2】区间内为减函数,必须满足:① F(-2)>F(2);② x=-2与x=2都在二次函数对称轴右侧
先解①,得4(1-k)+4+4k+k-1>4(1-k)-4-4k+k-1,化简,得8+8k>0
∴k>-1
由②可知,二次函数对称轴-【-(2+2k)】/【2*(1-k)】≤-2
化简,得(1+k)/(1-k)≤-2
由k>1,得1-k<0
∴ 1+k≥-2(1-k)
解不等式,得k≤3
取三者的交集,得k的取值范围为k∈(1,3】
3° k<1,则F(x)图象开口向上
那么为使F(x)在x∈【-2,2】区间内为减函数,必须满足:① F(-2)>F(2);② x=-2与x=2都在二次函数对称轴左侧
先解①,得4(1-k)+4+4k+k-1>4(1-k)-4-4k+k-1,化简,得8+8k>0
∴k>-1
由②可知,二次函数对称轴-【-(2+2k)】/【2*(1-k)】≥2
化简,得(1+k)/(1-k)≥2
由k<1,得1-k>0
∴ 1+k≥2(1-k)
解不等式,得k≥1/3
取三者的交集,得k的取值范围为k∈【1/3,1)
取以上三种情况的并集,得k∈【1/3,3】
所以,当F(x)在x∈【-2,2】区间为减函数时,k的取值范围是k∈【1/3,3】
整个题考点就在于二次函数的对称轴.
第二问比较复杂,如有不懂之处,欢迎追问.
(1),由f(x)的值域是【-2,+∞)可知,a>0且f(x)的最小值为-2.
由对x∈R,恒有f(-1-x)=f(-1+x)可知,x=-1是二次函数f(x)的对称轴.
∴ -b/2a=-1
∴ b=2a
同时,由x=-1是二次函数f(x)的对称轴,且a>0(即二次函数图象开口向上),则f(-1)是二次函数的最小值
∴ f(-1)=a-b-1=a-2a-1=-a-1=-2
∴ a=1
∴ b=2a=2
所以,f(x)的解析式为f(x)=x²+2x-1
(2),F(x)=f(-x)-kf(x)=(x²-2x-1)-k(x²+2x-1)=(1-k)x²-(2+2k)x+(k-1)
以下将k的取值分情况讨论:
1° k=1,则F(x)是一次函数,F(x)=-4x
显然,该函数在x∈【-2,2】区间内为减函数.
∴ k=1符合题设要求.
2° k>1,则F(x)图象开口向下
那么为使F(x)在x∈【-2,2】区间内为减函数,必须满足:① F(-2)>F(2);② x=-2与x=2都在二次函数对称轴右侧
先解①,得4(1-k)+4+4k+k-1>4(1-k)-4-4k+k-1,化简,得8+8k>0
∴k>-1
由②可知,二次函数对称轴-【-(2+2k)】/【2*(1-k)】≤-2
化简,得(1+k)/(1-k)≤-2
由k>1,得1-k<0
∴ 1+k≥-2(1-k)
解不等式,得k≤3
取三者的交集,得k的取值范围为k∈(1,3】
3° k<1,则F(x)图象开口向上
那么为使F(x)在x∈【-2,2】区间内为减函数,必须满足:① F(-2)>F(2);② x=-2与x=2都在二次函数对称轴左侧
先解①,得4(1-k)+4+4k+k-1>4(1-k)-4-4k+k-1,化简,得8+8k>0
∴k>-1
由②可知,二次函数对称轴-【-(2+2k)】/【2*(1-k)】≥2
化简,得(1+k)/(1-k)≥2
由k<1,得1-k>0
∴ 1+k≥2(1-k)
解不等式,得k≥1/3
取三者的交集,得k的取值范围为k∈【1/3,1)
取以上三种情况的并集,得k∈【1/3,3】
所以,当F(x)在x∈【-2,2】区间为减函数时,k的取值范围是k∈【1/3,3】
整个题考点就在于二次函数的对称轴.
第二问比较复杂,如有不懂之处,欢迎追问.
已知函数f(x)=ax^2+bx-1满足以下两个条件:
已知定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件:①对于任意的x属于R,都有f(x+1)=1/f(x);②函数y=f(x
已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)满足f(0)=0,对于任意x∈R都有f(x)≥x,且f(-1/2+x)=f
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足:对于任意实数x,都有f(x)>=x, f(x)
已知二次函数f x=ax^2+bx满足条件:f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有等根
已知二次函数y=ax^2+bx+c同时满足下列条件,1.f(-1)=0.2.对于任意实数x,都有f(x)≥x
已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)满足f(x)=0,对于任意x属于R都有f(x)大于等于x,且f(-1/
已知二次函数f(x)=ax²+bx满足条件①f(0)=f(1) ②f(x)的最小值为-1/8.1求函数f(x)
已知定义域为R+,值域为R的函数f(x),对于任意x,y属于R+总有f(xy)=f(x)+f(y),当x>1,恒有f(x
已知二次函数f(x)=ax2+bx满足条件①对任意x∈R,均有f(x-4)=f(2-x)②函数f(x)的图像与y=x相切
已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b为实数),x属于R,F(x)={f(x),x>0 -f(x),x
已知二次函数f(x)=ax^2+bx满足f(1+x)=f(1-x)且方程f(x)=x有两个相等实数,