已知：如图1,在正方形 ABCD和正方形BEFG 中,点 ABE在同一条直线上,P是线段 DF的中点,联结PA、PE ．

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/10 14:07:20

已知：如图1,在正方形 ABCD和正方形BEFG 中,点 ABE在同一条直线上,P是线段 DF的中点,联结PA、PE ．
（1）探究PA与PE的数量关系与位置关系,直接写出你的猜想；
（2）将图1中的正方形BEFG绕点B逆时针旋转,使它的对角线BF恰好与AB的延长线在同一条直线上,其他条件不变（如图2）,你在（1）中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明．

（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；
PG/PC
=1；
（2）猜想：线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；
PG/PC
=
3
．证明：如图2,延长GP交DC于点H,∵P是线段DF的中点,∴FP=DP,由题意可知DC∥GF,∴∠GFP=∠HDP,∵∠GPF=∠HPD,∴△GFP≌△HDP,∴GP=HP,GF=HD,∵四边形ABCD是菱形,∴CD=CB,∴CG=CH,∴△CHG是等腰三角形,∴PG⊥PC,（三线合一）又∵∠ABC=∠BEF=60°,∴∠GCP=60°,∴
PG/PC
=
3
；
（3）在（2）中得到的两个结论仍成立．证明：如图3,延长GP到H,使PH=PG,连接CH,CG,DH,∵P是线段DF的中点,∴FP=DP,∵∠GPF=∠HPD,∴△GFP≌△HDP,∴GF=HD,∠GFP=∠HDP,∵∠GFP+∠PFE=120°,∠PFE=∠PDC,∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=120°,∵四边形ABCD是菱形,∴CD=CB,∠ADC=∠ABC=60°,点A、B、G又在一条直线上,∴∠GBC=120°,∵四边形BEFG是菱形,∴GF=GB,∴HD=GB,∴△HDC≌△GBC,∴CH=CG,∠DCH=∠BCG,∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°,即∠HCG=120°∵CH=CG,PH=PG,∴PG⊥PC,∠GCP=∠HCP=60°,∴
PG/ PC
=
3
．即PG=
3 PC．点评：本题主要考查了正方形,菱形的性质,以及全等三角形的判定等知识点,根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键．

请阅读下列材料：问题：如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，在菱形ABCD中和菱形BEFG中,点A.B.E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC.若∠ABC=∠BEF= )如图1,已知正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC),B,C,G在同一条直线上,M为线段AE的中点,探究MD,MF 如图,正方形ABCD的面积为12,三角形ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE 如图，在正方形ABCD中，E在AB上，BE=2，AE=1，P是BD上的动点，则PE和PA的长度之和最小值为______．如图所示,在正方形ABCD中,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,若PD+PE的最小值如图,正方形ABCD的面积为25,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和如图,正方形ABCD的边长为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和正方形ABCD的边长为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小, 如图,正方形ABCD的边长为4,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD中,在对角线AC上存有一点P 正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥PB,交直线CD于点E,如图1,当点P与