已知AO是正四面体ABCD的高,M是AO的中点,连结BM,CM,DM.求证:CM垂直平面BDM
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/07 03:11:44
已知AO是正四面体ABCD的高,M是AO的中点,连结BM,CM,DM.求证:CM垂直平面BDM
![已知AO是正四面体ABCD的高,M是AO的中点,连结BM,CM,DM.求证:CM垂直平面BDM](/uploads/image/z/16348104-0-4.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5AO%E6%98%AF%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93ABCD%E7%9A%84%E9%AB%98%2CM%E6%98%AFAO%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2C%E8%BF%9E%E7%BB%93BM%2CCM%2CDM.%E6%B1%82%E8%AF%81%3ACM%E5%9E%82%E7%9B%B4%E5%B9%B3%E9%9D%A2BDM)
连结OB、OC、OD,BM、CM、DM,延长BO交CD于H,
设正四面体棱长为1,
O为正三角形BCD的外心(重心),底正三角形中线(高)BH=√3/2,
BO=2BH/3=√3/3,(根据重心性质,重心距顶点距离为中线的2/3),
在△ABO中,根据勾股定理,
高AO=√(1-1/3)=√6/3,
OM=AO/2=√6/6,
在RT△BOM中,根据勾股定理,
BM=√(OM^2+BO^2)=√(1/6+1/3)=√2/2,
同理MC=MD=√2/2,
BM^2+CM^2=BC^2=1,
∴根据勾股定理逆定理,
△BCM为RT△,
∴CM⊥BM,
同理CM⊥MD,
∵BM∩DM=M,
∴CM⊥平面BMD.
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/ee/4ee7c4efc4d881bd2f16ed33b8c1fc5f.jpg)
设正四面体棱长为1,
O为正三角形BCD的外心(重心),底正三角形中线(高)BH=√3/2,
BO=2BH/3=√3/3,(根据重心性质,重心距顶点距离为中线的2/3),
在△ABO中,根据勾股定理,
高AO=√(1-1/3)=√6/3,
OM=AO/2=√6/6,
在RT△BOM中,根据勾股定理,
BM=√(OM^2+BO^2)=√(1/6+1/3)=√2/2,
同理MC=MD=√2/2,
BM^2+CM^2=BC^2=1,
∴根据勾股定理逆定理,
△BCM为RT△,
∴CM⊥BM,
同理CM⊥MD,
∵BM∩DM=M,
∴CM⊥平面BMD.
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/ee/4ee7c4efc4d881bd2f16ed33b8c1fc5f.jpg)
已知ABCD是平行四边形,PA垂直平面ABCD,M是PC的中点,求证面BDM垂直平面ABCD
已知平行四边形ABCD,M是AB的中点,CM=DM,求证四边形ABCD是矩形
在梯形ABCD中,AD平行BC,M是AB的中点,DM垂直CM.求证:CD=AD+BC
如图,四面体ABCD中,O是BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=根号2.(1)求证:AO垂直平面BCD;
四面体ABCD中,O.E分别是BD.BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=根号2.求证AO垂直平面BCD
如图已知等腰梯形ABCD中,AD平行BC,M是AB的中点,DM垂直CM.求证:CD=AD+BC
如图,已知在梯形ABCD中,AD平行BC,M是AB的中点,DM垂直CM. 求证 CD等于AD加B
如图,AB为圆O的直径,M、N分别 是AO、BO的中点 CM⊥AO,DN⊥OB,求证AC=BD
已知:如图,在四棱锥v-abcd中,底面abcd是正方形,m为侧棱vc的中点.求证:va∥平面bdm
如图,平行四边形ABCD对角线AC和BD相交于点O,M、N分别是AO、CO的中点,求证DN=BM
已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH
如图,已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM