设L是一条平面曲线,其上任一点P（x,y）(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处切线在y轴上的截距,

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/13 07:38:38

设L是一条平面曲线,其上任一点P（x,y）(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处切线在y轴上的截距,
且恒过点A（0.5,0）,求曲线L的方程

设曲线L的方程为y=y(x),x>0
则其上任一点P（x,y）处切线方程为：
Y-y=y'*(X-x),令X=0,得y轴上的截距为b=y-xy'
于是有：
√(x^2+y^2)=y-xy'
两边平方得
x^2+y^2=y^2-2xyy'+x^2*y'^2
y'^2-2*y/x*y'-1=0
解得y'=y/x+√[(y/x)^2+1]或y'=y/x-√[(y/x)^2+1]
考虑到x>0,且y-xy'≥0,故y'≤y/x,故只能取
y'=y/x-√[(y/x)^2+1]
令y/x=z,则y=xz,y'=z+xz',故
z+xz'=z-√(z^2+1)
得z'/√(z^2+1)=-1/x
两边分别积分,得
√(z^2+1)=-ln|x|+C
得z^2=(C-ln|x|)^2-1
y=xz=x√[(C-ln|x|)^2-1]或y=-x√[(C-ln|x|)^2-1]
考虑恒过点A(0.5,0),则过该点时切线在y轴上的截距为0.5,也即当x=0.5时,必有y'=-1
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求道高数题目的思路设平面曲线L上任意点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离,等于该点处的切线在y轴上的截距,且曲线l过求一曲线的方程,使其上任一点处的切线在y轴上的截距恰好等于原点到该点的距离. 设p为y=（x²/4）-2图像C上任意一点,L为C在点P处切线,则坐标原点O到L距离的最小值~(>_ 在xOy坐标平面上,连续曲线L过点M(1,0),其上任意点P(x,y)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于x,求L的方程求一曲线,且有如下性质：曲线上任一点的切线在x,y轴上的截距之和恰好等于该点的斜率. 已知曲线上任一点P(x,y)处的切线斜率等于2x y,且该曲线通过原点,求此曲线方程. 已知曲线y=x3-6x2+11x-6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小设一曲线过原点且在该曲线上任意一点（x，y）处的切线斜率为x3，则该曲线方程为______．设p为曲线f（x）=x³+x-2上的点,且曲线在p处的切线平行于直线y=4x-1,则p点坐标为设P（X0,Y0）是曲线Y＝3－X^2上的一点写出曲线在点P处的切线方程设P（X0,Y0）是曲线Y＝3－X^2上的一点写出曲线在点P处的切线方程设曲线y=x^2在点P处的切线斜率是3,则点P的坐标