如果n级方阵A满足A^2-5A+6E=0,证明:A为可逆矩阵,A相似于一个对角矩阵
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/29 07:59:35
如果n级方阵A满足A^2-5A+6E=0,证明:A为可逆矩阵,A相似于一个对角矩阵
A^2-5A+6E=0,
故(A-3E)(A-2E)=0
故A的特征值只可能为3,或2,故A可逆.
同时,故r(A-3E)+r(A-2E)=r(A-3E-(A-2E))=n
故r(A-3E)+r(A-2E)=n
特征值3对应的线性无关的特征向量有n-r(A-3E)个.
特征值2对应的线性无关的特征向量有n-r(A-2E)个.
故A的线性无关的特征向量一共有n-r(A-3E)+n-r(A-2E)=n个,故A可以对角化.
故(A-3E)(A-2E)=0
故A的特征值只可能为3,或2,故A可逆.
同时,故r(A-3E)+r(A-2E)=r(A-3E-(A-2E))=n
故r(A-3E)+r(A-2E)=n
特征值3对应的线性无关的特征向量有n-r(A-3E)个.
特征值2对应的线性无关的特征向量有n-r(A-2E)个.
故A的线性无关的特征向量一共有n-r(A-3E)+n-r(A-2E)=n个,故A可以对角化.
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