搜搜做题作业网求证：当x>0时,不等式sinx+cosx>1+x-x^2成立.
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/08 06:42:50
求证：当x>0时,不等式sinx+cosx>1+x-x^2成立.
证明：
构造函数
f(x)=(sinx+cosx)-(1+x-x²) x∈[0, +∞)
求导,可得
f'(x)=cosx-sinx-1+2x
f''(x)=-sinx-cosx+2.
显然,当x≥0时,恒有-sinx-cosx+2=2-(√2)sin[x+(π/4)]＞0
即当x≥0时,恒有f''(x)＞0
∴在区间[0,+∞)上,f'(x)=cosx-sinx-1+2x递增.
∴当x＞0时,恒有f'(x)＞f'(0)
即当x＞0时,恒有cosx-sinx-1+2x＞0
即当x＞0时,恒有f'(x)＞0
∴在区间[0,+∞)上,函数f(x)递增,
∴当x＞0时,恒有f(x)＞f(0)
即当x＞0时,恒有(sinx+cosx)-(1+x-x²)＞0
∴当x＞0时,恒有sinx+cosx＞1+x-x²
构造函数
f(x)=(sinx+cosx)-(1+x-x²) x∈[0, +∞)
求导,可得
f'(x)=cosx-sinx-1+2x
f''(x)=-sinx-cosx+2.
显然,当x≥0时,恒有-sinx-cosx+2=2-(√2)sin[x+(π/4)]＞0
即当x≥0时,恒有f''(x)＞0
∴在区间[0,+∞)上,f'(x)=cosx-sinx-1+2x递增.
∴当x＞0时,恒有f'(x)＞f'(0)
即当x＞0时,恒有cosx-sinx-1+2x＞0
即当x＞0时,恒有f'(x)＞0
∴在区间[0,+∞)上,函数f(x)递增,
∴当x＞0时,恒有f(x)＞f(0)
即当x＞0时,恒有(sinx+cosx)-(1+x-x²)＞0
∴当x＞0时,恒有sinx+cosx＞1+x-x²
求证：当x>0时,不等式sinx+cosx>1+x-x^2成立.
求证 sin^2x/(sinx-cosx)-(sinx+cosx)/tan^2 x-1=sinx+cosx
求证：sinx/x>(cosx)^(1/3) (0
已知x∈(0,π/2),求证:sinx+cosx>1
当sinx>=cosx f(x)=sinx 当cosx>sinx时 f(x)=cosx,x∈[0,2pai],求f(x)
当x>0时,证明不等式ln(1+x)>x-1/2x成立
已知|sinx-cosx|≤|x-y|,当x＞0时,求证：1/x+1＜ln(1+1/x)＜1/x
证明:当x>0时,成立不等式x/1+x^2
当x趋向于0时,x/sinx * (1+cosx)/cosx 的极限怎么求?
当x趋近0时,求(2sinx+cosx-1)/x的极限
对任意x属于(0,π/2),不等式p(sinx)^2+4(sinx)^2+4(cosx)^4>=1恒成立,则实数p的取值
当x趋近0时,求（3sinx+x＾2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)的极限