数列{an}各项均为正数,Sn=1/2(an+1/an).用数学归纳法证明:an=√n-√(n-1)
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/07 19:55:21
数列{an}各项均为正数,Sn=1/2(an+1/an).用数学归纳法证明:an=√n-√(n-1)
求求帮忙了!
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证明:当n=1时
S1=1/2(a1+1/a1)
S1=a1
所以
a1=1/2(a1+1/a1)
a1²=1
因为a1>0
所以
左式=a1=1
右式=√1-√1-1=1
左式=右式
所以假设n=k时,等式成立,即ak=√k-√(k-1)
1/ak=√k+√(k+1)
当n=k+1时
左式=a(k+1)
S(k+1)=1/2【a(k+1)+1/a(k+1)】
S(k+1)=Sk+a(k+1)=1/2(ak+1/ak)+a(k+1)=√k+a(k+1)
所以
1/2【a(k+1)+1/a(k+1)】=√k+a(k+1)
a(k+1)+1/a(k+1)=2√k+2a(k+1)
a²(k+1)+2√ka(k+1)-1=0
a(k+1)=【-2√k±√(4k+4)】/2
因为a(k+1)>0
所以a(k+1)=√(k+1)-√k
右式=√(k+1)-√k
左式=右式
命题成立
S1=1/2(a1+1/a1)
S1=a1
所以
a1=1/2(a1+1/a1)
a1²=1
因为a1>0
所以
左式=a1=1
右式=√1-√1-1=1
左式=右式
所以假设n=k时,等式成立,即ak=√k-√(k-1)
1/ak=√k+√(k+1)
当n=k+1时
左式=a(k+1)
S(k+1)=1/2【a(k+1)+1/a(k+1)】
S(k+1)=Sk+a(k+1)=1/2(ak+1/ak)+a(k+1)=√k+a(k+1)
所以
1/2【a(k+1)+1/a(k+1)】=√k+a(k+1)
a(k+1)+1/a(k+1)=2√k+2a(k+1)
a²(k+1)+2√ka(k+1)-1=0
a(k+1)=【-2√k±√(4k+4)】/2
因为a(k+1)>0
所以a(k+1)=√(k+1)-√k
右式=√(k+1)-√k
左式=右式
命题成立
数列{an}各项均为正数,Sn=1/2(an+1/an).用数学归纳法证明:an=√n-√(n-1)
已知数列{an}中,an=1+1/2+1/3+...+1/n,记sn=a1+a2+...+an用数学归纳法证明sn=(n
已知正整数数列{an},(n∈N*)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+1/an,用数学归纳法证明an=(根号下n)-(
若数列{an}的前n项和为Sn,且满足:Sn=(3/2)an-2+n(n∈N*),用数学归纳法证明:an=3^(n-1)
在各项均匀正数的等比数列|an|中,数列{an}的前n项和为Sn,S1>0,6Sn=(an+1)( an+2
各项均为正数的数列{an}的前n项和为S,且sn=1\8(an+2)².求证数列{an}是等差数列
数列{an}中,满足a1=1,Sn=n^2·an (n属于N正),猜想数列的通项公式,用数学归纳法证明
已知数列{an}的各项均为正数,前n项的和Sn=(an+1)24
已知数列an的各项均为正数,前n项和为sn,且sn=an(an+1)/2,n为正整数 求证 1.数列an是等差数列
已知数列{an}各项均为正数,其前N项和为sn,且满足4sn=(an+1)^2.求{an}的通项公式
设各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=1/2(an+1/an)
设各项都为正数的数列an 前n项和为sn 且满足Sn=1/2(an+1/an)