过椭圆x^2+y^2/2=1的焦点F作两条垂直的弦AB,CD,求四边形ACBD的最值.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/07 05:30:42
过椭圆x^2+y^2/2=1的焦点F作两条垂直的弦AB,CD,求四边形ACBD的最值.
![过椭圆x^2+y^2/2=1的焦点F作两条垂直的弦AB,CD,求四边形ACBD的最值.](/uploads/image/z/14918750-62-0.jpg?t=%E8%BF%87%E6%A4%AD%E5%9C%86x%5E2%2By%5E2%2F2%3D1%E7%9A%84%E7%84%A6%E7%82%B9F%E4%BD%9C%E4%B8%A4%E6%9D%A1%E5%9E%82%E7%9B%B4%E7%9A%84%E5%BC%A6AB%2CCD%2C%E6%B1%82%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ACBD%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%80%BC.)
a^2=2,b^2=1
a=√2,b=1,c=1
设F(0,1) .
注意:设F(0,-1)与F(0,1)的计算结果相同
一、AB⊥Y轴
直线AB:y=1代入2x^2+y^2=2 ,得
x=±√2/2
|AB|=√2
|CD|=2a=2√2
四边形ACBD面积的最大值S=|AB|*|CD|/2=√2*2√2/2=2
二、AB不⊥Y轴
AB:y=kx+1
x^2+y^2/2=1
2x^2+y^2=2
2x^2+(kx+1)^2=2
(2+k^2)x^2+2kx-1=0
xA+xB=-2k/(2+k^2),xA*xB=-1/(2+k^2)
(xA-xB)^2=(xA+xB)^2-4xA*xB=4k^2/(2+k^2)^2+4/(2+k^2)=8(1+k^2)/(2+k^2)^2
AB^2=(1+k^2)*(xA-xB)^2=(1+k^2)*8(1+k^2)/(2+k^2)^2=8(1+k^2)^2/(2+k^2)^2
|AB|=2√2*(1+k^2)/(2+k^2)
AB⊥CD
k(CD)=-1/k(AB)=-1/k
|CD|=2√2*(1+1/k^2)/(2+1/k^2)=2√2*(1+k^2)/(1+2k^2)
四边形ACBD=S=|AB|*|CD|/2=[2√2*(1+k^2)/(2+k^2)]*[2√2*(1+k^2)/(1+2k^2)]/2
=4(1+k^2)^2/[(1+2k^2)*(2+k^2)]
(4-2S)k^4+(8-5S)k^2+4-2S=0
未知数为k^2的上方程有实数解,则它的判别式△≥0,即
(8-5S)^2-4*(4-2S)*(4-2S)≥0
S*(9S-16)≥0
∵S>0
∴S≥16/9
四边形ACBD的最小值=16/9
答:四边形ACBD面积的最小值=16/9,最大值=2
a=√2,b=1,c=1
设F(0,1) .
注意:设F(0,-1)与F(0,1)的计算结果相同
一、AB⊥Y轴
直线AB:y=1代入2x^2+y^2=2 ,得
x=±√2/2
|AB|=√2
|CD|=2a=2√2
四边形ACBD面积的最大值S=|AB|*|CD|/2=√2*2√2/2=2
二、AB不⊥Y轴
AB:y=kx+1
x^2+y^2/2=1
2x^2+y^2=2
2x^2+(kx+1)^2=2
(2+k^2)x^2+2kx-1=0
xA+xB=-2k/(2+k^2),xA*xB=-1/(2+k^2)
(xA-xB)^2=(xA+xB)^2-4xA*xB=4k^2/(2+k^2)^2+4/(2+k^2)=8(1+k^2)/(2+k^2)^2
AB^2=(1+k^2)*(xA-xB)^2=(1+k^2)*8(1+k^2)/(2+k^2)^2=8(1+k^2)^2/(2+k^2)^2
|AB|=2√2*(1+k^2)/(2+k^2)
AB⊥CD
k(CD)=-1/k(AB)=-1/k
|CD|=2√2*(1+1/k^2)/(2+1/k^2)=2√2*(1+k^2)/(1+2k^2)
四边形ACBD=S=|AB|*|CD|/2=[2√2*(1+k^2)/(2+k^2)]*[2√2*(1+k^2)/(1+2k^2)]/2
=4(1+k^2)^2/[(1+2k^2)*(2+k^2)]
(4-2S)k^4+(8-5S)k^2+4-2S=0
未知数为k^2的上方程有实数解,则它的判别式△≥0,即
(8-5S)^2-4*(4-2S)*(4-2S)≥0
S*(9S-16)≥0
∵S>0
∴S≥16/9
四边形ACBD的最小值=16/9
答:四边形ACBD面积的最小值=16/9,最大值=2
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