有一类自然数,除以11余5,除以13余6,除以17余8,除以19余9.求其中最小的一个自然数
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/19 23:41:17
有一类自然数,除以11余5,除以13余6,除以17余8,除以19余9.求其中最小的一个自然数
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看了好久的书才来做这个题,中国古代有一种算法叫做“大衍求一术”,简单点儿解释就是:求一个数N,使得它被A1除余r1,被A2除余r2,被A3除余r3,被A4除余r4…….写成代数式就是:N=A1q1+r1=A2q2+r2=A3q3+r3=A4q4+r4=……那么“大衍求一术”要求我们首先找到一个数M1,它除以A1余1,而同时又被B1=A2×A3×A4整除;再找一个数M2,它除以A2余1,而同时又被B2=A1×A3×A4整除;再找一个数M3,它除以A3余1,而同时又被B3=A1×A2×A4整除;再找一个数M4,它除以A4余1,而同时又被B4=A1×A2×A3整除;如此等等.以上一系列“求一”的过程,相当于解一系列不定方程:BiX+AiY=1,(i=1,2,3,4……).那么,当A1,A2,A3,A4互质的时候,利用辗转相除法,可以求得上面不定方程的解Xi(i=1,2,3,4……).于是,若令Mi=BiXi,那么M1r1+M2r2+M3r3+M4r4就是一个被A1除余r1,被A2除余r2,被A3除余r3,被A4除余r4的数,它加上或减去A1×A2×A3×A4依然具有同样性质.
现在利用上述性质做这道题:
先求被11除余1且被13×17×19=4199整除的数.用辗转相除法:4199-11×381=8;11-8=3;8-3×2=2;3-2=1;所以1=3-2=3-(8-3×2)=3×3-8=(11-8)×3-8=11×3-8×4=11×3-(4199-11×381)×4=-4199×4+11×1527,所以求得M1=-4199×4=-16796.用同样方法,还可求得M2=-10659,M3=-16302,M4=-2431.题中r1=5,r2=6,r3=8,r4=9,从而M1r1+M2r2+M3r3+M4r4=-300229,注意到11×13×17×19=46189,所以被11除余5,被13除余6,被17除余8,被19除余9的最小自然数是-300229+46189×7=23094.
如果楼主不明白什么是辗转相除法,自己去找点资料看看吧,很容易理解的.
终于做完了,打了好久字的说,打完收工!
现在利用上述性质做这道题:
先求被11除余1且被13×17×19=4199整除的数.用辗转相除法:4199-11×381=8;11-8=3;8-3×2=2;3-2=1;所以1=3-2=3-(8-3×2)=3×3-8=(11-8)×3-8=11×3-8×4=11×3-(4199-11×381)×4=-4199×4+11×1527,所以求得M1=-4199×4=-16796.用同样方法,还可求得M2=-10659,M3=-16302,M4=-2431.题中r1=5,r2=6,r3=8,r4=9,从而M1r1+M2r2+M3r3+M4r4=-300229,注意到11×13×17×19=46189,所以被11除余5,被13除余6,被17除余8,被19除余9的最小自然数是-300229+46189×7=23094.
如果楼主不明白什么是辗转相除法,自己去找点资料看看吧,很容易理解的.
终于做完了,打了好久字的说,打完收工!
有一类自然数,除以11余5,除以13余6,除以17余8,除以19余9.求其中最小的一个自然数
求除以6余3,除以8余5,除以9余6的最小自然数
除以6余5,除以7余6,除以8余7,除以9余8的最小自然数是多少?
有一个自然数,除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,这个数最小是( )
一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小自然数.
满足除以5余1,除以7余3,除以8余3的最小自然数
一个自然数除以10余9,除以9余8,除以8余7,除以7余6,除以6余5,除以5余4,除以4余3,除以3余2,除以2余1
有正整数N,它除以3余2,除以5余3,除以7余4.,除以11余5,除以13余6除以17余7除以19余8,求N的最小值
一个自然数除以3余2,除以7余5,除以5余2,除以11余4,满足这些条件的最小自然数是多少?
一个自然数除以3余1,除以5余3,除以7余5,除以11余3,求满足条件的最小自然数
有正整数N,它除以3余2,除以5余3,除以7余4,除以11余5,除以13余6,除以17余7,除以19余8,除23余9,求
一个自然数除以4余一,除以5余2除以十一余4,求适合条件的最小自然数