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已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=3,则方程f(

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/29 11:14:28
已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=3,则方程f(x)-f′(x)=2的解所在的区间是(  )
A. (0,
1
2
已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=3,则方程f(
根据题意,对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=3,
又由f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,
则f(x)-log2x为定值,
设t=f(x)-log2x,则f(x)=log2x+t,
又由f(t)=3,即log2t+t=3,
解可得,t=2;
则f(x)=log2x+2,f′(x)=
1
ln2•x,
将f(x)=log2x+2,f′(x)=
1
ln2•x代入f(x)-f′(x)=2,
可得log2x+2-
1
ln2•x=2,
即log2x-
1
ln2•x=0,
令h(x)=log2x-
1
ln2•x,
分析易得h(1)=
1
ln2<0,h(2)=1-
1
2ln2>0,
则h(x)=log2x-
1
ln2•x的零点在(1,2)之间,
则方程log2x-
1
ln2•x=0,即f(x)-f′(x)=2的根在(1,2)上,
故选C.