已知三角形ABC P是平面ABC上一点,求证P到三角形ABC三顶点距离平方之和取得最小值是,点P恰好为三角形ABC重心

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/08/15 10:40:53

把三角形ABC 置于直角坐标系中,设三角形ABC 三顶点坐标为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),点P坐标(x,y),P到三角形ABC三顶点距离平方之和=(x-x1)²+(y-y1)²+(x-x2)²+(y-y2)²+(x-x3)²+(y-y3)²=3x²-2xx1-2xx2-2xx3+3y²-2yy1-2yy2-2yy3+x1²+x2²+x3²+y1²+y2²+y3²=3[x-(x1+x2+x3)/3]²+3[y-(y1+y2+y3)/3]²+x1²+x2²+x3²+y1²+y2²+y3²-(x1+x2+x3)²/9-(y1+y2+y3)²/9,∵上式中x1²+x2²+x3²+y1²+y2²+y3²-(x1+x2+x3)²/9-(y1+y2+y3)²/9为定值,∴当x-(x1+x2+x3)/3=0,y-(y1+y2+y3)/3=0有最小值,此时点P坐标为[(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3],PA的斜率=[(y1+y2+y3)/3-y1]/[(x1+x2+x3)/3-x1]=(y2+y3-2y1)/(x2+x3-2x1),BC中点坐标[(x2+x3)/2,(y2+y3)/2],其与A点连线的斜率=[(y2+y3)/2-y1]/[(x2+x3)/2-y1]=(y2+y3-2y1)/(x2+x3-2x1)=PA的斜率,点P在BC的中线上,同理可证点P在AB和AC的中线上,则点P恰好为三角形ABC重心.

已知三角形ABC P是平面ABC上一点,求证P到三角形ABC三顶点距离平方之和取得最小值是,点P恰好为三角形ABC重心设P是三角形ABC所在平面外一点,P到三角形ABC各顶点的距离相等,且p到三角形ABC各边的距离相等. 设P是三角形ABC所在平面外一点,P到三角形ABC各顶点的距离相等,且p到三角形ABC各边的距离相等三角形ABC所在平一点P到三角形ABC的三边距离相等,求证它在三角形ABC所在平面内的射影是三ABC角内心设P点是三角形ABC内一点,求：P到三角形ABC三顶点的距离和三角形周长之比的取值范围已知三角形ABC,点P是平面ABC外一点,点o是点p在平面ABC上的射影,且点o在三角形ABC内平面的数学题若三角形abc的三边长分别是6,8,10,点p是三角形abc平面外的一点,且p到三顶点的距离都是13,求p到已知P为三角形ABC所在平面外一点,G1、G2、G3、分别是三角形PAB,三角形PCB,三角形PAC的重心,求证：平面G 设P为三角形ABC所在平面外一点,P到ABC三点的距离相等,∠BAC为指教.求证在已知三角形ABC所在的平面上存在一点P,是他倒三角形则称三个顶点的距离之和最小已知直角三角形ABC,斜边AB=2,三角形内一动点P到三顶点距离之和最小值为根号7,求两个锐角的大小. P是三角形ABC所在平面&外的一点,P到三角形ABC三边的距离相等,O为P在平面&内的射影,且在三角形ABC内.求证：O