高一函数题:已知定义域在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间【0,2】上是增函数.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/26 13:20:49
高一函数题:已知定义域在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间【0,2】上是增函数.
已知定义域在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间【0,2】上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间【-8,8】上有四个不同的根x1,x2,x3,x4.求x1+x2+x3+x4
请给出过程。。谢谢。。
已知定义域在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间【0,2】上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间【-8,8】上有四个不同的根x1,x2,x3,x4.求x1+x2+x3+x4
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令x=t+2 代入f(x-4)=-f(x)得 f(t+2-4)=-f(t+2)
即f(t-2)=-f(t+2)
又f(x)是奇函数 f(t-2)=-f(2-t)
所以 -f(t+2)=-f(2-t) 即 f(2+t)=f(2-t)(1)式
即直线x=2是f(x)对称轴
接下来画图就可以说明 显然奇函数f(0)=0
也可简单算得 f(-4)=-f(0)=0 f(x)以8为周期 f(-8)=0
f(4)=0 f(8)=0
画图 先画[0,2]一段 可以任意画一段 只要满足增函数即可 注意f(0)=0
再根据x=2是对称轴画[2,4]段
在根据f(x)是奇函数 图像关于原点对称 画[-4,0]那段
再根据x=2是对称轴 画[4,8]段 其和[0,-4]段关于x=2对称
最后根据原点对称画[-8,-4]段
画完后你会发现 要求f(x)=m(m>0) 的解 就是求y=m(m>0)与f(x)的交点
根据图你可以得到 共有四个交点 其中两个在区间(-8,-4)关于x=-6对称 另外两个在区间(0,4)关于x=2对称
所以x1+x2+x3+x4=2*(-6)+2*2=-8
参考以下:
f(x)为奇函数,f(0)=0,
f(x-4)=-f(x),f(4)=0,
f(x-8)=-f(x-4)=f(x),所以f(x)是周期为8的函数,f(8)=0.
在区间【0,2】上是增函数,那么在此区间f(x)>0,根据f(x-4)=-f(x),
在区间【4,8】f(x)
即f(t-2)=-f(t+2)
又f(x)是奇函数 f(t-2)=-f(2-t)
所以 -f(t+2)=-f(2-t) 即 f(2+t)=f(2-t)(1)式
即直线x=2是f(x)对称轴
接下来画图就可以说明 显然奇函数f(0)=0
也可简单算得 f(-4)=-f(0)=0 f(x)以8为周期 f(-8)=0
f(4)=0 f(8)=0
画图 先画[0,2]一段 可以任意画一段 只要满足增函数即可 注意f(0)=0
再根据x=2是对称轴画[2,4]段
在根据f(x)是奇函数 图像关于原点对称 画[-4,0]那段
再根据x=2是对称轴 画[4,8]段 其和[0,-4]段关于x=2对称
最后根据原点对称画[-8,-4]段
画完后你会发现 要求f(x)=m(m>0) 的解 就是求y=m(m>0)与f(x)的交点
根据图你可以得到 共有四个交点 其中两个在区间(-8,-4)关于x=-6对称 另外两个在区间(0,4)关于x=2对称
所以x1+x2+x3+x4=2*(-6)+2*2=-8
参考以下:
f(x)为奇函数,f(0)=0,
f(x-4)=-f(x),f(4)=0,
f(x-8)=-f(x-4)=f(x),所以f(x)是周期为8的函数,f(8)=0.
在区间【0,2】上是增函数,那么在此区间f(x)>0,根据f(x-4)=-f(x),
在区间【4,8】f(x)
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