已知函数f(x)=-x3+ax在(0,1)上是增函数.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/08 07:59:02
已知函数f(x)=-x3+ax在(0,1)上是增函数.
(1)求实数a的取值范围A;
(2)当a为A中最小值时,定义数列{an}满足:a1=b∈(0,1),且2an+1=f(an),试比较an与an+1的大小.
(1)求实数a的取值范围A;
(2)当a为A中最小值时,定义数列{an}满足:a1=b∈(0,1),且2an+1=f(an),试比较an与an+1的大小.
![已知函数f(x)=-x3+ax在(0,1)上是增函数.](/uploads/image/z/1024910-62-0.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%3D-x3%2Bax%E5%9C%A8%EF%BC%880%EF%BC%8C1%EF%BC%89%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0%EF%BC%8E)
(1)∵f(x)=-x3+ax,
∴f′(x)=-3x2+a,
∵f(x)=-x3+ax在(0,1)上是增函数,
∴f′(1)=-3+a≥0,
∴a≥3,即A=[3,+∞).
(2)当a=3时,由题意:an+1=
1
2f(an)=-
1
2an3+
3
2an,且a1=b∈(0,1),
以下用数学归纳法证明:an∈(0,1),对n∈N*恒成立.
①当n=1时,a1=b∈(0,1)成立;
②假设n=k时,ak∈(0,1)成立,那么当n=k+1时,
ak+1=-
1
2ak3+
3
2ak,由①知g(x)=(-x3+3x)在(0,1)上单调递增,
∴g(0)<g(ak)<g(1)
即0<ak+1<1,
由①②知对一切n∈N*都有an∈(0,1)
而an+1-an=-
1
2an3+
3
2an-an=
1
2an(1-an2)>0
∴an+1>an.
∴f′(x)=-3x2+a,
∵f(x)=-x3+ax在(0,1)上是增函数,
∴f′(1)=-3+a≥0,
∴a≥3,即A=[3,+∞).
(2)当a=3时,由题意:an+1=
1
2f(an)=-
1
2an3+
3
2an,且a1=b∈(0,1),
以下用数学归纳法证明:an∈(0,1),对n∈N*恒成立.
①当n=1时,a1=b∈(0,1)成立;
②假设n=k时,ak∈(0,1)成立,那么当n=k+1时,
ak+1=-
1
2ak3+
3
2ak,由①知g(x)=(-x3+3x)在(0,1)上单调递增,
∴g(0)<g(ak)<g(1)
即0<ak+1<1,
由①②知对一切n∈N*都有an∈(0,1)
而an+1-an=-
1
2an3+
3
2an-an=
1
2an(1-an2)>0
∴an+1>an.
已知函数f(x)=-x3+ax在(0,1)上是增函数.
已知函数f(x)=x3-ax-1.
已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0
已知f(x)=-x3+ax在(0,1)上是减函数,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=2ax-x3,a>0,若f(x)在x∈(0,1]上是增函数,求a的取值范围.
已知函数f (x)=x3+32(1-a)x2-3ax+1,a>0.
已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x.
已知函数f(x)=x3-ax2+2ax-1在区间(1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围?
已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调函数,则a的取值范围是( )
已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的最大值是( )
已知a>0,函数f(x)=-x3+ax在[1,+∞)是单调递减函数,则a的最大值是( )
已知f(x)= -x3+ax在(0,1)上是增函数,求实数a的取值范围