设向量组(a 1,2,-6)线性无关

存在一组不全为0的数1,1,1使得1(a1-a2)+1(a2-a3)+1(a3-a1)=0

用定义证明设有k1B1+k2B2+k3B3=0,即k1(a1+a2-2a3)+k2(a1-a2-a3)+k3(a1+a3)=0,于是有(k1+k2+k3)a1+(k1-k2)a2+(k1-k2+k3)

（1）向量组a2,a3,a4线性无关,说明a2,a3,也线性无关；又因为向量组a1,a2,a3线性相关,所以a1能由a2,a3线性表示（2）假如a4能由a1,a2,a3线性表示,则由于a1能由a2,a

假设a1+a2+a3,a2+a3,a3线性相关,则k1（a1+a2+a3）+k2（a2+a3）+k3a3=0其中k1、k2、k3不全为0.化简成k1a1+（k1+k2）a2+（k1+k2+k3）a3=

证明:设k1(a1+a3)+k2(a2+a3)+k3a3=0得:k1a1+k2a2+(k1+k2+k3)a3=0由a1,a2,a3线性无关得k1=0,k2=0,k1+k2+k3=0所以有k1=k2=k

设k1,k2,k3使得k1(a1+2a2)+k2(a2+2a3)+k3(a3+2a1)=0(k1+2k3)a1+(2k1+k2)a2+(2k2+k3)a3=0a1,a2,a3线性无关所以k1+2k3=

(1)因为a2,a3,a4线性无关所以a2,a3线性无关又因为a1,a2,a3线性相关所以a1可由a2,a3线性表示(2)假如a4可由a1,a2,a3线性表示.由(1)知a4可由a2,a3线性表示这与

设k1(a1+a2)+k2(a2-a3)+k3(a1-2a2+a3)=0(k1+k3)a1+(k1+k2-2k3)a2+(-k2+k3)a3=0因为向量组a1,a2,a3线性无关,所以k1+k3=0k

这是个常用结论:若C=AB,A列满秩,则R(C)=R(B)请参考:

C注：A可以线性相关,只要a1,a2线性无关就行Ba1a4线性相关跟这四个向量线性无关没关系D前后正负关系,肯定线性相关D注：秩为2所以A可以先向相关,跟a3线性相关都可以,只要跟a4别线性相关.B不

k1(a1+a3)+k2(a1-2a3)+k3(a2+a3)=0=>(k1+k2)a1+k3a2+(k1-2k2+k3)a3=0=>k1+k2=0(1)andk3=0(2)andk1-2k2+k3=0

楼上厉害,直接看出了它们的线性关系我给一个看不出来的一般证法.证明:因为(a1+2a3,a2-a3,a1+2a2)=(a1,a2,a3)K其中K=1010122-10因为a1,a2,a3线性无关,所以

设k1b1+k2b2+k3b3=0,然后把b1=a1+a2+a3等都代进去,整理一下,证出k1,k2,k3都是0就可以了.

设x(a1-a2-2a3)+y(a2-a3)+za3=0,则xa1+(-x+y)a2+(-2x-y+z)a3=0,向量组a1,a2,a3线性无关,∴x=0,-x+y=0,-2x-y+z=0,解得x=y

证明:由已知,(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)KK=111011001因为|K|=1≠0,所以K可逆所以r(b1,b2,b3)=r[(a1,a2,a3)K]=r(a1,a2,a3)=3所以b

线性无关.反证法.假设mb1+nb2+rb3=0,则ma1+n(a1+a2)+r(a1+a2+a3)=0;则（m+n+r）a1+(n+r)a2+(r)a3=0,与向量组a1,a2,a3线性无关矛盾.故

证明:因为(a1+2a2,a2+2a3,a3+2a1)=(a1,a2,a3)K其中K=102210021因为a1,a2,a3线性无关,所以r(a1+2a2,a2+2a3,a3+2a1)=r(K).因为

方法一：b1－b2＋b3＝0,所以向量组B线性相关方法二：矩阵B＝(b1,b2,b3)＝(a1,a2,a3)C＝AC,其中C＝121-314-101|C|＝0,所以秩(B)≤秩(C)＜3,所以向量组B