设n阶矩阵A,B有共同的线性无关的特征向量a1,a2,--an,试证:AB＝BA-搜答案-搜搜做题作业网

反证法就行了不妨设j,k列相关Bj=cBk则Ejj=cEjkEjj=1=>Ejk=1/c不等于0矛盾所以不存在j,k使线性相关

证明:由C可逆知r(C)=n所以n=r(C)=r(AB)

易知：A是m*n矩阵,且列向量组线性无关,所以r(A)=n,所以r(AB)=r(A)=n,因为n=r(AB)≤r(B)（或r(A)）≤n（B是n阶矩阵）所以n≤r(B)≤n=>r(B)=n（2）此外,

C正确.再问：为什么啊？再答：设λ是A的特征值则λ^9是A^9=0的特征值.而零矩阵的特征值只能是零所以λ^9=0.所以λ=0.

AB=A-B(I+A)(I-B)=I于是(I+A)和(I-B)都可逆,(I-B)(I+A)=I展开得BA=A-B,即有结论.楼上的做法依赖于A可逆,碰到A=B=0这种就不行.

方程组Bx＝0的解都是Cx＝0的解,但是C可逆,所以Cx＝0只有零解,所以Bx＝0也只有零解,所以B的列向量线性无关

应该要让P可逆.设A为n×m矩阵,A的列向量组线性无关,证明存在列向量线性无关的矩阵B（下标n（n-m）,使得P=(A,B)可逆,且B‘A=0.证明：考虑齐次线性方程组A'x=0,系数矩阵A'的秩是m

因为n=r(In)=r(AB)

R(A^T)=sA^Tx=0的基础解系含n-s个向量,令其构成矩阵B则B为列向量线性无关的n行n-s列矩阵且有A^TB=0,即有B^TA=0由于B的列与A^T的行正交(齐次线性方程组的解与系数矩阵的行

(A)显然不对(B)不对(C)正确(D)尽管|A|=|B|,但前提与(C)矛盾选(C)再问：为什么A相似B再答：A，B有共同的特征值，且各自有n个线性无关的特征向量所以A,B都可对角化,且都相似于同一

n阶矩阵A最多有n个线性无关的特征向量,因为n阶矩阵的特征向量必然也是n维的,而n维空间的向量也最多只有n个是线性无关的.

证明：设B1，B2，…，Bn为B的列向量组，假设存在k1，k2，…，Kn，使得k1B1+k2B2+…+knBn=0，则：A（k1B1+k2B2+…+knBn）=0，即：k1AB1+k2AB2+…+kn

n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，设其特征值为λ1，λ2，…，λn，则A，B均可对角化，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAP−1＝diag(λ1，λ2，…，λn)＝QBQ−1，因

(BtAB)t=BtAt(Bt)t=BtAB,所以它是对称矩阵,懂了?

把B写出分块矩阵的形式,B=(b1,b2,..bs),其中bi是B的第i个列向量,(i=1,2..s)AB=0A(b1,b2,..bs)=(Ab1,Ab2,..Abs)=0=(0,0,...0)Abi

证明:首先有r(B)>=r(AB)=r(I)=m而B只有m列,所以r(B)

证明：矩阵AB的秩为r(AB)=r(Em)=m,而r(AB)=m.----------(1)另外由题意,B为n×m矩阵,且n＞m,则可知r(B)

考虑方程ABx=0,由于A的列向量线性无关,所以只可能是Bx＝0.这说明ABx＝0的解空间与Bx=0的解空间相同,其中ABx=0解空间的维度为s-r(AB),Bx＝0解空间的维度是s－r(B).两个方

A非奇异,B满秩都是说可逆,故AB可逆,标准形是E,即单位矩阵