如图,△ABC内接于圆O,且BC是圆O直径,AD⊥BC于D

(1)相切角OCD=角OCB+角BCD=1/2(角ACB）+角ACB)分别根据CA=CB,OC为角ACB的角平分线和内错角相等=90三角形内角和180（2）2倍的根号3

连接AO并延长AO交圆O于点E,连接EC所以∠E=∠B,因为AE为圆O直径所以∠ACE=90°,所以∠E+∠CAE=90°因为∠B=∠CAD,所以∠E=∠CAD所以∠CAD+∠CAE=90°,即∠EA

连接CO,并延长交圆于D点,连接AD和AO.得出CD为圆的直径,∠OAC＝∠OCA,∠B＝∠ADC因为CD为直径,所以∠ADC＋∠OCA＝90°.又因为∠B＝∠CAE,∠B＝∠ADC,∠OAC＝∠OC

连接OA,OC∵AB=5,CD=3∴AD=4∵AB=4√2∴∠ABC=45°∴∠AOC=90°∵OA=OC,AC=5∴OC=(5/2)√2即⊙O的半径为(5/2)√2

（1）∵∠ACB=∠ABF=∠ABC,(圆周角等于弦切角)∴AB=AC(底角相等的三角形是等腰三角形).（2）连接DB,∵∠ADB=∠ABF=∠ABC,∴△ADB∽△ABE.∵AD=4,cos∠ABF

关于如图,三角形ABC内接于圆O

连AD∠CAD=∠CBD=∠ABD∠ADB=90所以有三角形ABD相似于三角形AFDAB/AF=AD/DF=10/7.5=4/3tan∠ABF=tan∠FAD=3/4

1因为∠ABC=∠ADC（同弧所对应的圆周角相等）∠CED=∠AEB（对顶角）所以△ABE与△CDE相似,根据对应边成比例得出：CD/AB=DE/BE,即CD/DE=AB/BE——式1已知DC^2=D

证明：连接OE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴BE=CE，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA=∠EAD，∵OA=OE，∴∠OEA=∠OAE，∴∠OAE=∠EAD．

（1）∵BD平分∠CBA,∴∠CBD=∠DBA,∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角,∴∠DAC=∠CBD,∴∠DAC=∠DBA；（2）∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∵DE⊥AB于E,∴∠D

（1）如图,连结CD,OC,则∠ADC=∠B=60°．∵AC⊥CD,CG⊥AD,∴∠ACG=∠ADC=60°．由于∠ODC=60°,OC=OD,∴△OCD为正三角形,得∠DCO=60°．由OC⊥l,得

（1）证明：∵AB为直径,∴∠ACB=∠ADB=90°∵BD平分∠ABC∴∠CBF=∠FBA∵∠DAF+∠AFD=90°∠CBF+∠BFC=90°∠AFD=∠BFC(对顶角相等)∴∠DAF=∠CBF=

连接OC,OB因为pc,pb是圆O的切线所以

角C等于角E,易证直角三角形ADC与直角三角形ABE相似,AD:AB=AC：AE,AD:6=8：10,AD=4.8

PA^2=PB*PC,PA/PB=PC/PA,<APB=<CPA,△APB∽△CAP,<PAB=<ACP,∴PA是圆O的切线.(圆外切割线逆定理). 若要继续证明,则

证明：连接AF,∵BF=AC,∴弧AB+弧AF=弧AF+弧CF．∴弧AB=弧CF．∴∠F=∠FBC．又∵∠CAM=∠CBM,∴∠F=∠MAN．∵∠AMF=∠NMA,∴△AMF∽△NMA．∴AM/NM=

连结OD,∵DE是⊙O的切线,∴DE⊥OD,又DE∥BC,∴OD⊥BD,∴OD平分弧BE,即：弧BD＝弧DC,∴∠BAD＝∠DAE.又DE∥BC,∠ACB＝∠AED,∵∠ACB＝ADB,∴∠ADB＝∠

阴影部分面积=扇形ABC-三角形ABC1/2*pi/3*4*4-1/2*4*4*根号3/2=8*pi/3-4根号3

第一问很好证.∵∠BCD=∠BAD,∠BCD=∠ACD∴∠BAD=∠ACD又PD圆的切线∴∠PDA=∠ACD∴∠PDA=∠BAD∴DP∥AB

（1）证明：∵BF是⊙O的切线,∴∠3=∠C,∵∠ABF=∠ABC,即∠3=∠2,∴∠2=∠C,∴AB=AC；