（理科）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=2，CC1>AC，∠ACB=90°，异面直线AC1与B

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/08 20:45:29

（理科）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，CC₁>AC，∠ACB=90°，异面直线AC₁与BA₁所成角的大小为arccos

（理科）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=2，CC1>AC，∠ACB=90°，异面直线AC1与B

（1）

如图，以CA所在直线为ix轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴建立平面直角坐标系．
则A（2，0，0），B（0，2，0），A₁（2，O，c），B₁（0，2，c），C₁（0，0，c）
∴

AC1=（-2，0，c），

BA1=（2，-2，c）
∴cos<

AC1，

BA1>=

AC1

• BA1
|

AC1||

BA1|=
−4+c2

4+c2
8+c2=

30
10
∴c=4，∴CC1=4
S_{三棱柱ABC-A1B1C1}=
1
2AC•BC•CC₁=
1
2×2×2×4=8
（2）∵D为线段A₁B₁的中点，∴D（1，1，4）
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AA1⊥平面A₁B₁C₁，
∴

AA1为平面A₁B₁C₁的法向量．

AA1=（0，0，4）
设平面AC₁D的法向量为

n=（x，y，z）
∵

AC1=（-2，0，4），

AD=（-1，1，4）
∴-2x+4z=0，-x+y+4z=0
令z=1，则x=2，y=-2，∴

n=（2，-2，1）
cos<

AA1，

n>=
4
4
4+4+1=
1
3
∴平平面A₁B₁C₁的法向量与平面AC₁D的法向量所成角为arccos
1
3，
有图知，平平面A₁B₁C₁的法向量与平面AC₁D的法向量所成角即为二面角A-C₁D-A₁，
∴二面角A-C₁D-A₁的大小为arccos
1
3．