hyjumnujiu

四边形ABCD是正方形，（1）如果E为对角线BD上一点，如图一所示，过E点作EF垂直BD ,交BC于F，连接DF ，取DF的中点G,连接EG,CG.求证：EG=CG。（2）如果E为AB上一点，如图二所示，过E点作EF垂直AB 交BD于F ，取DF的中点 G,连接EG,CG，（1）中的结论是否成立？若成立证明，不成立，说明理由

解题思路： 1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG． （2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．
解题过程：
（1）证明：在Rt△FCD中，
∵G为DF的中点，
∴CG=1/2 FD，
同理，在Rt△DEF中，
EG=1/2 FD，
∴CG=EG．

（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG．
证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．
在△DAG与△DCG中，
∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴△DAG≌△DCG（SAS），
∴AG=CG；
在△DMG与△FNG中，
∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴△DMG≌△FNG（AAS），
∴MG=NG；
在矩形AENM中，AM=EN，
在△AMG与△ENG中，
∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，
∴△AMG≌△ENG（SAS），
∴AG=EG，
∴EG=CG．
证法二：延长CG至M，使MG=CG，
连接MF，ME，EC，
在△DCG与△FMG中，
∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，
∴△DCG≌△FMG．
∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，
∴MF∥CD∥AB，
∴EF⊥MF．
在Rt△MFE与Rt△CBE中，
∵MF=CB，EF=BE，
∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF=∠CEB．
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，
∴△MEC为直角三角形．
∵MG=CG，
∴EG=1/2 MC，
∴EG=CG．

最终答案：略