求证:存在2011个不同的非零完全平方数的和还是完全平方数.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/24 05:20:35
求证:存在2011个不同的非零完全平方数的和还是完全平方数.
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我来试试吧...
证明:对于奇数完全平方数2k+1,我们构造
2k+1=m²-n²=(m+n)(m-n)
m-n=1
故m=k+1 ,n=k
对于偶数完全平方数4k+4,我们构造
4k+4=m²-n²=(m+n)(m-n)
m-n=2
故m=k+2 ,n=k
如此,对于任意完全平方数K²,我们可以构造适当的n,使得
K²+n²=m²
设第一个完全平方数k1,构造k2,使得k1²+k2²=M2²
构造K3,使得M2²+K3²=M3²,构造k4...如此下去,直到K2011
则有k1²+k2²+k3²+.+k2011²=M2011².证毕
证明:对于奇数完全平方数2k+1,我们构造
2k+1=m²-n²=(m+n)(m-n)
m-n=1
故m=k+1 ,n=k
对于偶数完全平方数4k+4,我们构造
4k+4=m²-n²=(m+n)(m-n)
m-n=2
故m=k+2 ,n=k
如此,对于任意完全平方数K²,我们可以构造适当的n,使得
K²+n²=m²
设第一个完全平方数k1,构造k2,使得k1²+k2²=M2²
构造K3,使得M2²+K3²=M3²,构造k4...如此下去,直到K2011
则有k1²+k2²+k3²+.+k2011²=M2011².证毕
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