三角形面积 用向量证明
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/25 06:57:15
三角形面积 用向量证明
已知2边的向量a,b
证明面积=1/2的根号下(a模平方*b模平方-(a点乘b)平方)
已知2边的向量a,b
证明面积=1/2的根号下(a模平方*b模平方-(a点乘b)平方)
![三角形面积 用向量证明](/uploads/image/z/20090514-66-4.jpg?t=%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A7%AF+%E7%94%A8%E5%90%91%E9%87%8F%E8%AF%81%E6%98%8E)
a*b=|a|*|b|cos(a,b)
所以cos(a,b)=a*b/(|a|*|b|)
所以sin(a,b)
=√(1-cos²(a,b))
=√(|a|²*|b|²-(a*b)²)/(|a|*|b|)
S=|a|*|b|sin(a,b)/2
而sin(a,b)=√(|a|²*|b|²-(a*b)²)/(|a|*|b|)代入上式中,即得
S=√(|a|²*|b|²-(a*b)²)/2
所以cos(a,b)=a*b/(|a|*|b|)
所以sin(a,b)
=√(1-cos²(a,b))
=√(|a|²*|b|²-(a*b)²)/(|a|*|b|)
S=|a|*|b|sin(a,b)/2
而sin(a,b)=√(|a|²*|b|²-(a*b)²)/(|a|*|b|)代入上式中,即得
S=√(|a|²*|b|²-(a*b)²)/2