柯西不等式 中与向量 结合.急.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/22 21:32:24
柯西不等式 中与向量 结合.急.
空间中一向量a 与X轴 Y轴 Z轴 正向之夹角依次为 A ,B,C(A B C均非象限角.) 求 1/(sinA)^2 + 1/(sinB)^2 +1/(sinC)^2 的最小值
空间中一向量a 与X轴 Y轴 Z轴 正向之夹角依次为 A ,B,C(A B C均非象限角.) 求 1/(sinA)^2 + 1/(sinB)^2 +1/(sinC)^2 的最小值
![柯西不等式 中与向量 结合.急.](/uploads/image/z/20017558-46-8.jpg?t=%E6%9F%AF%E8%A5%BF%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F+%E4%B8%AD%E4%B8%8E%E5%90%91%E9%87%8F+%E7%BB%93%E5%90%88.%E6%80%A5.)
设向量a的坐标为 (x,y,z),则
cosA=x/根号(x^2+y^2+z^2),cosB=y/根号(x^2+y^2+z^2),cosC=z/根号(x^2+y^2+z^2),因此有 (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1,所以 (sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2.
由柯西不等式:
[1/(sinA)^2+1/(sinB)^2+1/(sinC)^2][(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2]>=(1+1+1)^2=9
而 (sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2,所以 1/(sinA)^2+1/(sinB)^2+1/(sinC)^2>=9/2,即所求最小值为 9/2.
cosA=x/根号(x^2+y^2+z^2),cosB=y/根号(x^2+y^2+z^2),cosC=z/根号(x^2+y^2+z^2),因此有 (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1,所以 (sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2.
由柯西不等式:
[1/(sinA)^2+1/(sinB)^2+1/(sinC)^2][(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2]>=(1+1+1)^2=9
而 (sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2,所以 1/(sinA)^2+1/(sinB)^2+1/(sinC)^2>=9/2,即所求最小值为 9/2.