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证明 a∧2+b∧2+c∧2+3abc/2≥9/2

来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/07/31 12:18:38
证明 a∧2+b∧2+c∧2+3abc/2≥9/2
其中a,b,c均为正数,且a+b+c=3
证明 a∧2+b∧2+c∧2+3abc/2≥9/2
要证a^2+b^2+c^2+(3/2)abc≥9/2
即证2(a^2+b^2+c^2)+3abc≥9
即证2[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)]+3abc≥9（注意到(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)）
即证9-4(ab+bc+ca)+3abc≥0（注意到a+b+c=3）
即证9-4ab-4c(a+b)+3abc≥0
即证9-4ab-4c(3-c)+3abc≥0（注意到a+b=3-c）
即证(4-3c)ab≤4c^2-12c+9
即证(4-3c)ab≤(2c-3)^2
若4-3c0
显然上式恒成立
若4-3c≥0
因ab≤(a+b)^2/4（基本不等式）
即ab≤(3-c)^2/4（注意到a+b=3-c）
则(4-3c)ab≤(4-3c)(3-c)^2/4
于是要证(4-3c)ab≤(2c-3)^2
即证(4-3c)(3-c)^2/4≤(2c-3)^2
即证c^3-2c^2+c≥0
即证c(c-1)^2≥0（注意到c>0）
即证(c-1)^2≥0
显然(c-1)^2≥0恒成立
综上知a^2+b^2+c^2+(3/2)abc≥9/2
设a、b、c为△ABC三边,证明：a(3a+2b+c)²-2b(b+c) +a-2b-2c≥0. 证明不等式a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥abc(a+b+c) 设abc都是正实数,证明a/b+c+b/a+c+c/a+b大于等于3/2 设abc都是正实数,证明a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)大于等于3/2 已知a>0,b>0,c>0,证明a2+b2+c2≥3(abc)2/3 如何证明a^4+b^4+c^4≧a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥(a+b+c)abc? 已知三角形ABC,A(2,3),B(-2,4),C(-1,-9),证明三角形ABC为直角三角形. 设实数a,b,c满足a≤b≤c,且a^2+b^2+c ^2=9.证明abc+1＞3a 证明 在三角形ABC中,sin(a-b)/sinc=a 2-b 2/c 2 在三角形ABC中 证明S三角形ABC=[a^2sinBsinC]/2sin(B+C) 均值定理证明题已知a>0,b>0,c>0求证:a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)≥4abc 设a、b、c∈R+,且a+b+c=3,证明：abc（a^2+b^2+c^2)≤3