相似三角形面积的比等于对应高的比的平方吗?为什么

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/04 00:47:35

是的
设 △ABC∽△A’B’C’
AB∶A’B’=BC∶B’C’=CA∶C’A’=k
设 AB边上的高为h,A’B’边上的高为h’
可以证明 h∶h’=k （证明很简单,从略.）
△ABC的面积∶△A’B’C’的面积
=1/2ABh∶1/2A’B’h’
={（k*A’B’）*（k*h’）}∶（A’B’*h’）
=k*k
现在来证明正题
设有两个相似多边形
多边形-ABC…PQ 和多边形-A’B’C’…P’Q’
对应边之比为k
在这两个多边形中,以某个对应顶点（例如A和A’）向其他顶点作对角线,把每个多边形各自分成n个三角形.（n＝多边形的边数－2）
△1,△2,△3,…△n
△1’,△2’,△3’,…△n’
一一对应.
可以证明对应的三角形是相似三角形,其对应边之比就是多边形对应边之比k,对应三角形面积之比就是k*k,即
△1∶△1’=△2∶△2’=△3∶△3’=…=△n∶△n’=k*k
（△后面省去了“的面积”三个字）
根据比例性质
若 a∶b=c∶d=e∶f=…=m
则（a+c+e+…）∶（b+d+f+…）=m
我们得出
（△1+△2+△3+…+△n）∶（△1’+△2’+△3’+…+△n’）=k*k
上面的比例式中,前项就是多边形-ABC…PQ的面积
而后项是多边形-A’B’C’…P’Q’的面积.
证明完毕.
（说明：上面各式中,用k*k表示k的平方.）

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