一道关于正多边形的几何题
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/07 00:36:00
一道关于正多边形的几何题
在正方形ABCD中,N是变AD上异于A、D的动点,AD=nAN,M是边DC上一点,且∠MNB=∠NBC.
(1)如图1,若n=3,求证DM=CM;
(2)如图2,若DM=1/2,求n的值.
DM=1/2CM
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/53/1532557ceaca4a2d7e1ccb74218b7901.jpg)
在正方形ABCD中,N是变AD上异于A、D的动点,AD=nAN,M是边DC上一点,且∠MNB=∠NBC.
(1)如图1,若n=3,求证DM=CM;
(2)如图2,若DM=1/2,求n的值.
DM=1/2CM
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/53/1532557ceaca4a2d7e1ccb74218b7901.jpg)
![一道关于正多边形的几何题](/uploads/image/z/19772469-45-9.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E5%85%B3%E4%BA%8E%E6%AD%A3%E5%A4%9A%E8%BE%B9%E5%BD%A2%E7%9A%84%E5%87%A0%E4%BD%95%E9%A2%98)
不妨设正方形ABCD边长为a,
延长BC和NM,相交于E,过E作EF⊥BN于F,
∵∠CBF=∠MNF,
∴EB=EN,FB=FN,
∵AD=nAN
∴AN=a/n,ND=AD-AN=a(n-1)/n,
根据勾股定理,得
BN=√(AN²+AB²)=(a/n)*√(n²+1)
BF=BN/2=[a/(2n)]*√(n²+1)
容易证明,△ANB∽△FBE,
∴BE/BF=BN/AN
解得,BE=a(n²+1)/(2n)
∴CE=BE-BC=a(n-1)²/(2n)
(1)当n=3时,DN=2a/3,CE=2a/3,
∵AD‖BE,
∴DM/CM=ND/CE=1
即DM=CM
(2)∵AD‖BE,DM=(1/2)CM
∴ND/CE=DM/CM=1/2
即[a(n-1)/n]/[a(n-1)²/(2n)]=1/2
2/(n-1)=1/2
∴n=5
稍后附图,
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/f8/ff8b8b6d11fc5078fe115891f4129e9a.jpg)
延长BC和NM,相交于E,过E作EF⊥BN于F,
∵∠CBF=∠MNF,
∴EB=EN,FB=FN,
∵AD=nAN
∴AN=a/n,ND=AD-AN=a(n-1)/n,
根据勾股定理,得
BN=√(AN²+AB²)=(a/n)*√(n²+1)
BF=BN/2=[a/(2n)]*√(n²+1)
容易证明,△ANB∽△FBE,
∴BE/BF=BN/AN
解得,BE=a(n²+1)/(2n)
∴CE=BE-BC=a(n-1)²/(2n)
(1)当n=3时,DN=2a/3,CE=2a/3,
∵AD‖BE,
∴DM/CM=ND/CE=1
即DM=CM
(2)∵AD‖BE,DM=(1/2)CM
∴ND/CE=DM/CM=1/2
即[a(n-1)/n]/[a(n-1)²/(2n)]=1/2
2/(n-1)=1/2
∴n=5
稍后附图,
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/f8/ff8b8b6d11fc5078fe115891f4129e9a.jpg)