若a,b均为单位向量,且a*b=0,(a-c)(b-c)

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/30 15:25:38

向量c呢?应该也是单位向量吧
因为|a+b+c|²
＝(a+b+c)*(a+b+c)
=(a+b)²+2(a+b)*c+c*c
=|a|²+2a*b+|b|²+2(a+b)*c+|c|²
且|a|=|b|=|c|＝1,a*b=0
所以|a+b+c|²=3+2(a+b)*c （×）
又|a+b|²=|a|²+2a*b+|b|²=2
则|a+b|=√2
设向量a+b与向量c的夹角为θ,θ∈[0,π]
则由向量的数量积的定义可得：
(a+b)*c=|a+b|*|c|*cosθ=√2*cosθ
所以当θ＝0,即向量a+b与向量c共线且方向相同时,(a+b)*c有最大值为√2
这就是说此时|a+b+c|²有最大值为3+2√2 （注：由上述（×）式可得）
所以模|a+b+c|的最大值为√[3+2√2]=1+√2
再问： c不是单位向量，答案是2√2
再答：哦，c不是单位向量。因为|a+b+c|^2 ＝(a+b+c)*(a+b+c) =(a+b)^2+2(a+b)*c+c*c =|a|^2+2a*b+|b|^2+2(a+b)*c+|c|^2 且|a|=|b|＝1，a*b=0 所以|a+b+c|^2=2+2(a+b)*c+ |c|^2 （1）又|a+b|^2=|a|^2+2a*b+|b|^2=2 则|a+b|=√2 设向量a+b与向量c的夹角为θ，θ∈[0,π] 则由向量的数量积的定义可得： (a+b)*c=|a+b|*|c|*cosθ=√2*|c|*cosθ 所以当θ＝0，即向量a+b与向量c共线且方向相同时，(a+b)*c有最大值为√2|c| 这就是说此时|a+b+c|^2有最大值为2+2√2|c|+ |c|^2=(√2+|c|)^2 （注：由上述（1）式可得）即模|a+b+c|有最大值√2+|c| (2) 又(a-c)(b-c)≤0即a*b-(a+b)*c+|c|^2≤0 也就是|c|^2≤(a+b)*c≤√2|c| 所以|c|有最大值√2 则由（2）式可知模|a+b+c|有最大值为2√2

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