2^2-1+4^2-1+6^2-1+.+100^2-1=?
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/06 19:06:32
2^2-1+4^2-1+6^2-1+.+100^2-1=?
![2^2-1+4^2-1+6^2-1+.+100^2-1=?](/uploads/image/z/19535807-47-7.jpg?t=2%5E2-1%2B4%5E2-1%2B6%5E2-1%2B.%2B100%5E2-1%3D%3F)
=(2-1)×(2+1)+(4-1)×(4+1)...+(100-1)×(100+1)
=2^2-1+4^2-1+6^2-1+...+100^2-1
=2^2-1+2^2×2^2-1+3^2×2^2-1+...+50^2×2^2-1
=2^2(1+2^2+3^2+...+50^2)-50
=4×(50×(50+1)×(100+1))/6-50
=171650
中间用到求和公式:1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
再问: 求和公式:1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6...怎么推。。。
再答: 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 方法二:另外一个很好玩的做法 想像一个有圆圈构成的正三角形, 第一行1个圈,圈内的数字为1 第二行2个圈,圈内的数字都为2, 以此类推 第n行n个圈,圈内的数字都为n, 我们要求的平方和,就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r 下面将这个三角形顺时针旋转60度,得到第二个三角形 再将第二个三角形顺时针旋转60度,得到第三个三角形 然后,将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加, 我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1 而总共有几个圈呢,这是一个简单的等差数列求和 1+2+……+n=n(n+1)/2 于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1) r=n(n+1)(2n+1)/6
=2^2-1+4^2-1+6^2-1+...+100^2-1
=2^2-1+2^2×2^2-1+3^2×2^2-1+...+50^2×2^2-1
=2^2(1+2^2+3^2+...+50^2)-50
=4×(50×(50+1)×(100+1))/6-50
=171650
中间用到求和公式:1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
再问: 求和公式:1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6...怎么推。。。
再答: 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 方法二:另外一个很好玩的做法 想像一个有圆圈构成的正三角形, 第一行1个圈,圈内的数字为1 第二行2个圈,圈内的数字都为2, 以此类推 第n行n个圈,圈内的数字都为n, 我们要求的平方和,就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r 下面将这个三角形顺时针旋转60度,得到第二个三角形 再将第二个三角形顺时针旋转60度,得到第三个三角形 然后,将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加, 我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1 而总共有几个圈呢,这是一个简单的等差数列求和 1+2+……+n=n(n+1)/2 于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1) r=n(n+1)(2n+1)/6
已知A=1^2+3^2+5^2+省略号+97^2+99^2,B^2=2^2+4^2+6^2+省略号+98^2+100^2
六年级数学题/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+1/(5*6)+.+1/(99*100)=?
1;(1-1/2^2)(1-1/3^2)(1-1/4^2)````````````(1-1/99^2)(1-1/100^
1、101*99-100又1/2*99又1/2 2、1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2+……+2007^2-
1+2+3+4+5+.+100= 1+3+5+.+99= 2+4+6+.
1*2/1+2*3/1+3*4/1+.98*99/1+99*100/1=?
已知A=1^2+3^2+5^2+省略号+97^2+99^2,B=2^2+4^2+6^2+省略号+98^2+100^2.求
1^2+2^2+3^2+.+n^2=1/6n(n+1)(2n+1) 求5^2+10^2+15^2+...+100^2,
(1-1/2^2)(1-1/3^2)(1-1/4^2)(1-1/5^2)(1-1/6^2)(1\1/7^2)(1-1/8
(1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4)(1+1/2^8)+1/2^15=?
(1/2*4*6)+(1/4*6*8)+……+(1/96*98*100)=?
2*4/1+4*6/1+6*8/1+...+198*200/1=?1 1 1 1 / + / + / .+ / = 2乘