（2014•广州模拟）设a∈R，函数f（x）=x|x-a|+2x．

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/29 17:50:11

（2014•广州模拟）设a∈R，函数f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值；
（2）若a＞2，写出函数f（x）的单调区间（不必证明）；
（3）若存在a∈[-2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．

（1）当a=2，x∈[0，3]时，f(x)＝x|x−2|+2x＝

x2 ， x≥2
−x2+4x ， 0≤x＜2 .
作函数图象，

可知函数f（x）在区间[0，3]上是增函数．
所以f（x）在区间[0，3]上的最大值为f（3）=9．
（2）f(x)＝

x2+(2−a)x ， x≥a
−x2+(2+a)x ， x＜a .
①当x≥a时，f(x)＝(x−
a−2
2)2−
(a−2)2
4．
因为a＞2，所以
a−2
2＜a．

所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．
②当x＜a时，f(x)＝−(x−
a+2
2)2+
(a+2)2
4．
因为a＞2，所以
a+2
2＜a．
所以f（x）在(−∞ ，
a+2
2]上单调递增，在[
a+2
2 ， a]上单调递减．
综上所述，函数f（x）的递增区间是(−∞ ，
a+2
2]和[a，+∞），递减区间是[
a+2
2，a]．
（3）①当-2≤a≤2时，

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