（2012•洛阳模拟）已知函数f（x）=lnx-ax+1−ax−1（a∈R）．

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/31 21:31:21

（2012•洛阳模拟）已知函数f（x）=lnx-ax+

1−a

−1

（I）函数的定义域为（0，+∞），求导函数可得f′(x)＝
−ax2+x+a−1
x2
当a=0时，f′(x)＝
x−1
x2，令f′(x)＝
x−1
x2＞0可得x＞1，令f′(x)＝
x−1
x2＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1，
∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数；
当a＜0时，令f′(x)＝
−ax2+x+a−1
x2＞0得-ax²+x-1+a＞0，解得x＞1或x＜
1
a−1（舍去），此时函数f（x）在（1，+∞_上增函数，在（0，1）上是减函数；
当0＜a＜
1
2时，令f′(x)＝
−ax2+x+a−1
x2＞0得-ax²+x-1+a＞0，解得1＜x＜
1
a−1
此时函数f（x）在（1，
1
a−1）上是增函数，在（0，1）和（
1
a−1，+∞）上是减函数 …（6分）
（II）证明：由（I）知：a=0时，f（x）=lnx+
1
x-1在（1，+∞）上是增函数，
∴x＞1时，f（x）＞f（1）=0
设g（x）=f（x）-（x²-1）=lnx+
1
x-x²（x＞1），则g′(x)＝
−(x+1)(2x2−2x+1)
x2
∵2x²-2x+1＞0恒成立，∴x＞1时，g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减
∴x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即f（x）＜x²-1
∵f（x）＞0，∴
1
f(x)＞
1
x2−1=
1
2（
1
x−1−
1
x+1）
∴
1
f(2)+
1
f(3)+…+
1
f(n)

已知函数f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）．（2012•河南模拟）已知a∈R，函数f(x)＝ax+lnx−1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底已知函数f（x）=lnx+ax+1（a∈R）．已知函数f（x）=ax-1-lnx，a∈R．已知函数f（x）=ax-1+lnx（a∈R）已知函数f（x）=lnx+ax=1，a∈R （2012•洛阳模拟）已知函数f(x)＝x2−ax+ln(12ax+12)(a＞0)．已知函数f(x)＝lnx−ax+1−ax−1(a∈R) 已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R，a＞0）．已知函数f(x)＝ax+lnx−1，a∈R．已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a∈R）．已知函数f（x）=x2-lnx-ax，a∈R．