如何证明锐角三角形中的正方形面积最大
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/30 21:51:06
如何证明锐角三角形中的正方形面积最大
![如何证明锐角三角形中的正方形面积最大](/uploads/image/z/19451015-71-5.jpg?t=%E5%A6%82%E4%BD%95%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%94%90%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E6%9C%80%E5%A4%A7)
如何在锐角三角形中做一个面积最大的正方形,并证明
设锐角三角形ABC对应3条边为 a≤b≤c
那么正方形一条边在BC=a上的为面积最大的正方形.
画法如图:
1. 在AB(或AC)边上远离A处取一点P做正方形 PQNM,NM在BC上,Q在三角形内.
2. 做射线BQ交AC于E点
3. 做EH垂直BC,EF//BC,FG垂直BC.得四边形 EFGH
则四边形EFGH 即是三角形ABC内面积最大的正方形.
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/7a/47a2811061b791a51244d5a9403ca4ee.jpg)
分析:要使△ABC的内接正方形面积最大,只要正方形的边长最大即可.
证明:设△ABC中a边上的高为Ha,b边上的高Hb,c边上的高Hc,
∵S△=1/2a*Ha=1/2b*Hb=1/2c*Hc 即:a*Ha=b*Hb=c*Hc,
又∵a<b<c,∴Hc<Hb<Ha.
∴正方形的一边取在最小边a边上、且正方形边长小于a(不然,正方形另两个顶点将落在三角形之外),它的长度就取决于a边上的高的高度,高度值越大,正方形的边长相应也大,由于Hc<Hb<Ha,
∴正方形PQNM的P点取在AB边或AC边上,EH或FG将取得最大值.也就是△内接正方形的边长取得最大值,
∴这时正方形EFGH就是△ABC的最大内接正方形.
设锐角三角形ABC对应3条边为 a≤b≤c
那么正方形一条边在BC=a上的为面积最大的正方形.
画法如图:
1. 在AB(或AC)边上远离A处取一点P做正方形 PQNM,NM在BC上,Q在三角形内.
2. 做射线BQ交AC于E点
3. 做EH垂直BC,EF//BC,FG垂直BC.得四边形 EFGH
则四边形EFGH 即是三角形ABC内面积最大的正方形.
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/7a/47a2811061b791a51244d5a9403ca4ee.jpg)
分析:要使△ABC的内接正方形面积最大,只要正方形的边长最大即可.
证明:设△ABC中a边上的高为Ha,b边上的高Hb,c边上的高Hc,
∵S△=1/2a*Ha=1/2b*Hb=1/2c*Hc 即:a*Ha=b*Hb=c*Hc,
又∵a<b<c,∴Hc<Hb<Ha.
∴正方形的一边取在最小边a边上、且正方形边长小于a(不然,正方形另两个顶点将落在三角形之外),它的长度就取决于a边上的高的高度,高度值越大,正方形的边长相应也大,由于Hc<Hb<Ha,
∴正方形PQNM的P点取在AB边或AC边上,EH或FG将取得最大值.也就是△内接正方形的边长取得最大值,
∴这时正方形EFGH就是△ABC的最大内接正方形.