一道数学证明题(与阶乘有关)
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/26 07:06:40
一道数学证明题(与阶乘有关)
求证:=(n-1)*(n-1)!+(n-2)*(n-2)!+...+1*1!+1
求证:=(n-1)*(n-1)!+(n-2)*(n-2)!+...+1*1!+1
![一道数学证明题(与阶乘有关)](/uploads/image/z/19370803-67-3.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%A2%98%EF%BC%88%E4%B8%8E%E9%98%B6%E4%B9%98%E6%9C%89%E5%85%B3%EF%BC%89)
这题用数学归纳法:
当n=1时,该式显然成立
假设当n=k-1时,(k-1)!=(n-2)*(n-2)!+...+1*1!+1
则当n=k时
k!
=k*(k-1)!
=(k-1+1)(k-1)!
=(k-1)(k-1)!+(k-1)!
=(k-1)(k-1)!+(n-2)*(n-2)!+...+1*1!+1
由上述可得,对于一切的整数n,都有n!=(n-1)*(n-1)!+(n-2)*(n-2)!+...+1*1!+1
当n=1时,该式显然成立
假设当n=k-1时,(k-1)!=(n-2)*(n-2)!+...+1*1!+1
则当n=k时
k!
=k*(k-1)!
=(k-1+1)(k-1)!
=(k-1)(k-1)!+(k-1)!
=(k-1)(k-1)!+(n-2)*(n-2)!+...+1*1!+1
由上述可得,对于一切的整数n,都有n!=(n-1)*(n-1)!+(n-2)*(n-2)!+...+1*1!+1