椭圆标准式(a>b>0)与直线x+y-1=0交与P.Q俩点,向量0P垂直向量0Q求证1/a2+1/b2等于

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/09 16:55:44

椭圆标准式(a>b>0)与直线x+y-1=0交与P.Q俩点,向量0P垂直向量0Q求证1/a2+1/b2等于
如题

楼主是想证(1/a^ + 1/b^)=2吧?
设P,Q的两点坐标为P(x1,y1),Q(x2,y2)
将椭圆标准式x^/a^ +y^/b^ =1 与直线方程x+y-1=0 联立,可得出关于x的一元二次方程：
(a^+b^)x^-2a^x+(a^-a^b^)=0
此方程的两根显然就是是直线与椭圆两个交点的横坐标x1,x2,于是由韦达定理有：
x1+x2=2a^/(a^+b^) ①
x1*x2=(a^-a^b^)/(a^+b^) ②
因为P,Q都在直线x+y-1=0上,可用x1,x2分别表示出其纵坐标：
y1=1-x1
y2=1-x2
于是有y1*y2=(1-x1)*(1-x2)=1-(x1+x2)+x1*x2
将①,②代入,可得：
y1*y2=(b^-a^b^)/(a^+b^) ③
向量OP与向量OQ可根据P(x1,y1),Q(x2,y2)以及O（0,0）的坐标表示为：
向量OP={x1,y1}
向量OQ={x2,y2}
根据向量OP⊥向量OQ的已知条件,可得出：
向量OP (点乘) 向量OQ=0
而两者点乘的坐标表达式显然为：
x1*x2+y1*y2
于是有：
x1*x1+y1*y2=0
将②,③式代入上式：
可得到a^+b^=2a^b^
两边同时除以a^b^,最后就得到：
1/a^ + 1/b^ = 2

已知椭圆x²/6+y²/2=1,直线l过点(3,0）且交椭圆与P,Q两点.若向量OP垂直向量OQ,求设椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴与P 已知点A（1,0）,椭圆x²/4+y²/3=1,过点A作直线交椭圆于P,Q两点,向量AP=向量2QA 已知椭圆(x^2)/2+y^2=1及定点P(1,0).过点P的直线l交椭圆于A,B两点,交Y轴于点P,Q,若P,Q在线段已知过点(1,0)的直线L与椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0且a2+b2>1)相交于P,Q两点,PQ的中点坐标已知点A(1,0),椭圆CX^2/4+Y^2/3=1,过点A作直线交椭圆于P,Q两点,向量AP=2向量QA则直线PQ的斜已知椭圆x^2+2y^2=1,点A(-1,0).过A点做直线交椭圆于P,Q.求证:PQ恒过定点椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交与P,Q两点且OP垂直于OQ,其中O为坐标原点椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交与P,Q两点且OP垂直于OQ,其中O为坐标原点求设椭圆的方程为x2/a2+y2/b2=1 ,过右焦点且不与x轴垂直的直线与椭圆交于P,Q 两点,若在椭圆的右准线上存在点椭圆E:a方=8 b2=4 焦点在x轴 .设Q（1,0）,过Q点引直线l与椭圆E交AB两点求线段AB中点P轨迹方程直线y=mx与圆x^2+y^2+8x-6y+21=0交于点P,Q,求OP向量乘以OQ向量