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(2004•杭州模拟)设f(x)在(0,+∞)内可导,其反函数为g(y),∫f(x)eg(y)dy=xlnx-x,则f(

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/10 04:33:07
(2004•杭州模拟)设f(x)在(0,+∞)内可导,其反函数为g(y),
f(x)
e
(2004•杭州模拟)设f(x)在(0,+∞)内可导,其反函数为g(y),∫f(x)eg(y)dy=xlnx-x,则f(
因为

∫f(x)eg(y)dy=xlnx-x,①
对x求导可得,
g(f(x))f′(x)=lnx.
因为f(x)的反函数为g(y),
所以g(f(x))=x,
从而,
xf′(x)=lnx,
整理即得,
f′(x)=
lnx
x.
从而,
f(x)=∫
lnx
xdx
=∫lnxd(lnx)
=
1
2ln2x+C.
在①中取x=e,
右边=0,
故 f(e)=e,
代入可得,C=e-
1
2.
从而,f(x)=
1
2ln2x+e-
1
2.
故选:D.