求幂函数n从1到无穷,(-1)^(n-1)x^n/n的和函数
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/29 21:59:48
求幂函数n从1到无穷,(-1)^(n-1)x^n/n的和函数
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先求其收敛半径R=[lim(1/n)^(1/n)]^(-1)=1
∴x∈(-1,1)时,有S(x)=∑[(-1)^(n-1)]x^n/n
则S'(x)=∑{[(-1)^n]x^n/n}'=∑[(-1)^(n-1)]x^(n-1)
=∑(-x)^(n-1)=1/(1+x)
∴S(x)=∫S'(x)=ln(1+x),x∈(-1,1)
最后再考虑端点.
显然x=1时,该级数变为Leibniz级数,从而收敛
而x=-1时,该级数为调和级数的-1倍,从而发散
所以综上知S(x)=ln(1+x),x∈(-1,1]
∴x∈(-1,1)时,有S(x)=∑[(-1)^(n-1)]x^n/n
则S'(x)=∑{[(-1)^n]x^n/n}'=∑[(-1)^(n-1)]x^(n-1)
=∑(-x)^(n-1)=1/(1+x)
∴S(x)=∫S'(x)=ln(1+x),x∈(-1,1)
最后再考虑端点.
显然x=1时,该级数变为Leibniz级数,从而收敛
而x=-1时,该级数为调和级数的-1倍,从而发散
所以综上知S(x)=ln(1+x),x∈(-1,1]
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