已知函数f(x)=lnxx-1.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 09:24:38
已知函数f(x)=
lnx |
x |
![已知函数f(x)=lnxx-1.](/uploads/image/z/19280953-1-3.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%3Dlnxx-1%EF%BC%8E)
(1)函数的定义域为(0,+∞)
求导函数,可得f′(x)=
1−lnx
x2,
令f′(x)>0,而x>0,可得0<x<e,
令f′(x)<0,可得x>e,
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞);
(2)①当0<2m≤e,即0<m≤
e
2时,由(1)知,函数f(x)在[m,2m]上单调递增,
∴f(x)max=f(2m)=
ln2m
2m-1,
②当m≥e时,由(1)知,函数f(x)在[m,2m]上单调递减,
∴f(x)max=f(m)=
lnm
m-1,
③当m<e<2m,即
e
2<m<e时,由(1)知,函数f(x)在[m,e]上单调递增,(e,2m]上单调递减,
∴f(x)max=f(e)=
1
e-1,
∴f(x)在[m,2m]上的最大值为f(x)max=
ln2m
2m−1,0<m≤
e
2
1
e−1,
e
2<m<e
lnm
m−1,m≥e.
求导函数,可得f′(x)=
1−lnx
x2,
令f′(x)>0,而x>0,可得0<x<e,
令f′(x)<0,可得x>e,
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞);
(2)①当0<2m≤e,即0<m≤
e
2时,由(1)知,函数f(x)在[m,2m]上单调递增,
∴f(x)max=f(2m)=
ln2m
2m-1,
②当m≥e时,由(1)知,函数f(x)在[m,2m]上单调递减,
∴f(x)max=f(m)=
lnm
m-1,
③当m<e<2m,即
e
2<m<e时,由(1)知,函数f(x)在[m,e]上单调递增,(e,2m]上单调递减,
∴f(x)max=f(e)=
1
e-1,
∴f(x)在[m,2m]上的最大值为f(x)max=
ln2m
2m−1,0<m≤
e
2
1
e−1,
e
2<m<e
lnm
m−1,m≥e.