搜搜做题作业网证明这个常用不等式x,y是正数,求证 ((x+y)/2)^n 小于等于 (x^n+y^n)/2求思路
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/07 02:14:17
证明这个常用不等式
x,y是正数,求证 ((x+y)/2)^n 小于等于 (x^n+y^n)/2
求思路
x,y是正数,求证 ((x+y)/2)^n 小于等于 (x^n+y^n)/2
求思路
用均值为等式：a1^n+a2^n+...+an^n≥n•a1a2...an
令 A=(x+y)/2,由基本不等式,得
x^n/A^n +1+1+...+1≥n•x/A （注：共n-1个1）
y^n/A^n +1+1+...+1≥n•y/A
两式相加,得 (x^n+y^n)/A^n +2n-2 ≥2n
即 (x^n+y^n)/A^n ≥2
(x^n+y^n)/2 ≥[(x+y)/2]^n
再问： 为什么要加(n-1)个1？？？还有那个第一个a1^n+a2^n+...+an^n≥n•a1a2...an怎么证？
再答： 加n-1个 1，和x^n/A^n 构成n个正数，从而用基本不等式。
令 A=(x+y)/2,由基本不等式,得
x^n/A^n +1+1+...+1≥n•x/A （注：共n-1个1）
y^n/A^n +1+1+...+1≥n•y/A
两式相加,得 (x^n+y^n)/A^n +2n-2 ≥2n
即 (x^n+y^n)/A^n ≥2
(x^n+y^n)/2 ≥[(x+y)/2]^n
再问： 为什么要加(n-1)个1？？？还有那个第一个a1^n+a2^n+...+an^n≥n•a1a2...an怎么证？
再答： 加n-1个 1，和x^n/A^n 构成n个正数，从而用基本不等式。
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