设f(x)在[a,b]上一阶可导在,(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/14 19:55:03
设f(x)在[a,b]上一阶可导在,(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,
f'(a)×f'(b)>0,证明:存在c,使得f''(c)=f(c)
f'(a)×f'(b)>0,证明:存在c,使得f''(c)=f(c)
![设f(x)在[a,b]上一阶可导在,(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,](/uploads/image/z/18862442-26-2.jpg?t=%E8%AE%BEf%28x%29%E5%9C%A8%5Ba%2Cb%5D%E4%B8%8A%E4%B8%80%E9%98%B6%E5%8F%AF%E5%AF%BC%E5%9C%A8%2C%28a%2Cb%29%E5%86%85%E4%BA%8C%E9%98%B6%E5%8F%AF%E5%AF%BC%2C%E4%B8%94f%28a%29%3Df%28b%29%3D0%2C)
不妨设f'(a) > 0, 由f'(x)可导故连续, f’(x)在a的一个邻域内 > 0.
f(x)在a的一个邻域内严格增, 在其中有f(x) > f(a) = 0.
同理, 在b的一个邻域内有f(x) < f(b) = 0.
而f(x)连续, 由介值定理, 存在r∈(a,b), 使f(r) = 0.
考虑g(x) = f(x)·e^(-x).
由g(x)在[a,r]连续, 在(a,r)可导, g(a) = g(r) = 0.
由罗尔定理, 存在s∈(a,r), 使g'(s) = 0.
有(f'(s)-f(s))·e^(-s) = 0, 即有f'(s)-f(s) = 0.
同理, 存在t∈(r,b), 使f'(t)-f(t) = 0.
考虑h(x) = (f'(x)-f(x))·e^x.
由h(x)在[s,t]连续, 在(s,t)可导, h(s) = h(t) = 0.
由罗尔定理, 存在c∈(s,t), 使h'(c) = 0.
有(f"(c)-f'(c))·e^c = 0, 故f"(c) = f(c).
方法不一定是最好的, 不过应该还可以接受吧.
f(x)在a的一个邻域内严格增, 在其中有f(x) > f(a) = 0.
同理, 在b的一个邻域内有f(x) < f(b) = 0.
而f(x)连续, 由介值定理, 存在r∈(a,b), 使f(r) = 0.
考虑g(x) = f(x)·e^(-x).
由g(x)在[a,r]连续, 在(a,r)可导, g(a) = g(r) = 0.
由罗尔定理, 存在s∈(a,r), 使g'(s) = 0.
有(f'(s)-f(s))·e^(-s) = 0, 即有f'(s)-f(s) = 0.
同理, 存在t∈(r,b), 使f'(t)-f(t) = 0.
考虑h(x) = (f'(x)-f(x))·e^x.
由h(x)在[s,t]连续, 在(s,t)可导, h(s) = h(t) = 0.
由罗尔定理, 存在c∈(s,t), 使h'(c) = 0.
有(f"(c)-f'(c))·e^c = 0, 故f"(c) = f(c).
方法不一定是最好的, 不过应该还可以接受吧.
微积分题的证明设f(x)在[a,b]上一阶可导,在(a,b)内二阶可导,且满足f(a)=f(b)=0,f'(a)f'(b
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,且f(a)*f(b)>0,f(a)*f((a+b)/2)
设 f(x)在〔a,b〕上具有一阶连续导数,且|f‘ (x)|≤M,f(a)=f(b)=0,求证∫(a,b)f(x)dx
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,且f(a)=f(b)=0,证明存在c属于(a,b),使f'(c)+f(c
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且f(a)f(b)<0,f'(c)=0.a
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内f(x)可导且f(x)≠0,f(b)=f(a)=0.试证对任意的实数α,存在
设f‘(x)在[a,b]上连续,且f(a)=0,证明:|∫b a f(x)dx|
设函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b)可导,且f(a)=0,证明至少存在一点ξ∈(a
设f(x)在[a,b]上具有二阶导数 且f(a)=f(b)=0 f'(a)f'(b)>0 证明 至少存在一点
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内有二阶导数,且有f(a)=f(b)=0,f(c)>0(a
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导且f'(x)小于等于0,F(x)=(1/x-a)∫[0-->x]f(t)d
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)可导,且f(a)=b,f(b)=a.