n相同球放k相同盒子有多少种方法

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/13 20:18:45

n相同球放k相同盒子有多少种方法
盒子和球都相同,所以不是初等数学问题,用母函数

LZ说得很对,这个问题涉及分拆数p(n,k),没有简单的闭形式,但可以用母函数表达.
不过LZ并未说明是否要求k个盒子都放球.如果要求的话,答案就是p(n,k) (表示不计次序时,把n分成k个正整数的分拆法数目,这只是个记号,其实什么都没说……); 如果允许有空盒,答案是p(n,1)+p(n,2)+…+p(n,k).
关键是求p(n,k)的母函数f(x,y)=∑{n,k=0→∞} p(n,k)*x^n*y^k.注意分拆数是二元函数,所以母函数也是二元幂级数.
n的每一个k分拆是由a1个1,a2个2,…,a(n)个n组成的,其中a1+a2+…+a(n)=k,1*a1+2*a2+…+n*a(n)=n.
所以f(x,y)=∏{i=0→∞} (1+x^i*y+x^2i*y^2+…)=∏{i=0→∞} 1/(1-x^i*y).这就是p(n,k)的母函数.
如果允许有空盒,即求p(n,1)+p(n,2)+…+p(n,k)的母函数.这可由p(n,k)的母函数经过简单的代数运算得到.
再问：无所谓啊，都有球就是允许无球n+k的情况，我再验算一下，对了给分谢谢！
再答：说得对！所以关键是求p(n,k)的母函数

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