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已知:在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,以C为圆心,CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/19 23:45:04
已知:在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,以C为圆心,CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,且∠B=∠CAE,FE:FD=4:3.
(1)求证:AF=DF;
(2)求∠AED的余弦值;
(3)如果BD=10,求△ABC的面积.
已知:在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,以C为圆心,CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M
(1)证明:∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
∵∠B=∠CAE
∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE
∵∠ADE=∠BAD+∠B
∴∠ADE=∠DAE
∴EA=ED
∵DE是半圆C的直径
∴∠DFE=90°
∴AF=DF(2分)
(2)连接DM
∵DE是半圆C的直径
∴∠DME=90°
∵FE:FD=4:3
∴可设FE=4x,则FD=3x
∴DE=5x
∴AE=DE=5x,AF=FD=3x
∵AF•AD=AM•AE
∴3x(3x+3x)=AM•5x
∴AM=
18
5x
∴ME=AE-AM=5x-
18
5x=
7
5x
在Rt△DME中,cos∠AED=
ME
DE=

7
5x
5x=
7
25(5分)
(3)过A点作AN⊥BE于N
∵cos∠AED=
7
25
∴sin∠AED=
24
25
∴AN=
24
25AE=
24
5x
在△CAE和△ABE中
∵∠CAE=∠B,∠AEC=∠BEA
∴△CAE∽△ABE

AE
BE=
CE
AE
∴AE2=BE•CE
∴(5x)2=(10+5x)•
5
2x
∴x=2
∴AN=
24
5x=
48
5
∴BC=BD+DC=10+
5
2×2=15
∴S△ABC=
1
2BC•AN=
1
2×15×
48
5=72(8分).