如图,已知正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为2,E、F分别是A 1 B 1 、CC 1 的中点,过
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/01 07:43:51
如图,已知正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为2,E、F分别是A 1 B 1 、CC 1 的中点,过D 1 、E、F作平面D 1 EGF交BB 1 于G, (Ⅰ)求证:EG∥D 1 F; (Ⅱ)求二面角C 1 -D 1 E-F的余弦值; (Ⅲ)求正方体被平面D 1 EGF所截得的几何体ABGEA 1 -DCFD 1 的体积。 |
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![如图,已知正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为2,E、F分别是A 1 B 1 、CC 1 的中点,过](/uploads/image/z/18693676-28-6.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%EF%BC%8C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%AD%A3%E6%96%B9%E4%BD%93ABCD-A+1+B+1+C+1+D+1+%E7%9A%84%E6%A3%B1%E9%95%BF%E4%B8%BA2%EF%BC%8CE%E3%80%81F%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AFA+1+B+1+%E3%80%81CC+1+%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%EF%BC%8C%E8%BF%87)
(Ⅰ)证明:在正方体
中,
∵平面
∥平面
,平面
∩平面
=EG,
平面
∩平面
=
,
∴EG∥
。
(Ⅱ)如图,以D为原点分别以DA、DC、DD 1 为 x、y、z轴,
建立空间直角坐标系,则有D 1 (0,0,2),E(2,1,2),F(0,2,1),
∴
,
,
设平面
的法向量为
,
则由
和
,得
,
取x=1,得y=-2,z=-4,
∴
,
又平面ABCD的法向量为
(0,0,2),
故
;
∴截面
与底面ABCD所成二面角的余弦值为
;
(Ⅲ)设所求几何体
的体积为V,
∵
∽
,
,
∴
,
,
∴
,
,
故V 棱台
,
∴V=V 正方体 -V 棱台
。
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/55/8554b4c418f9abea42a96fc8b54ebb83.jpg)
∵平面
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/cb/6cb44f631b613d6e09f1a7349e4e2089.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/72/172eb8d0b4f7d4efc66f10017c53872d.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/99/49977a4388ce13c50b88144a972ec9ef.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/77/f771753c4f4547068e91d6e98e2d98ff.jpg)
平面
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/a1/aa1a685e8de6e4bb35915ed9eae9ca52.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/5c/05cfeb0c1b68afd39e7c5ef5b53bf5e0.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/48/b488fb3f90f5678d697694dd1ffde71b.jpg)
∴EG∥
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/29/62974a7846b9eb2a1b7db39e623e02f0.jpg)
(Ⅱ)如图,以D为原点分别以DA、DC、DD 1 为 x、y、z轴,
建立空间直角坐标系,则有D 1 (0,0,2),E(2,1,2),F(0,2,1),
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/42/e424c407b5b07169e7609cded22d3cef.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/01/a0180e12f40b279802f8672cf46335fe.jpg)
设平面
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/8b/68bd73703b7341d80aab80c329ce170a.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/0f/00f39548a88aa8dc814a68d472ea3878.jpg)
则由
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/ec/8ec4e52144df257bf66318f82af96522.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/90/f90cef110fffab20af68f0f28aa49bc3.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/c2/ac2ad5fe9d98784bdd288dfbdd5db111.jpg)
取x=1,得y=-2,z=-4,
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/8a/f8adce0abf6bfc74e401425abea83508.jpg)
又平面ABCD的法向量为
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/de/dde0f31241ce6eafa93dc663ec2139a3.jpg)
故
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/b4/9b4b6e04f0495ab50d13338d89d46d86.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/e7/ae71f85da8a4c53b3defaef9d6478a4e.jpg)
∴截面
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/54/d5467b8f61f0b0429d0c9b3ebe221ccc.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/57/35738ec7076c94c49127c1967f30c7b5.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/84/784199bd1c8bf178631595ac984f15ef.jpg)
(Ⅲ)设所求几何体
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/0f/00f49d083dd7f2fc6f4d91e33242a6f7.jpg)
∵
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/19/4196e0fb5fb5b0ba6cd15c70383bf9cb.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/0d/40d95f5520a5bad465d85b96a76254ca.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/12/6123e3cf0daee1e423fe3545be1a6fb1.jpg)
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/ad/dad857924424c5096ffd1c222722ad36.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/8d/78d14a167acbffb89850f8ebc5c8a1e9.jpg)
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/40/14022424500a850ce4cdfbeb1f8349ac.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/de/8de91dce98adce620e870cd0a6abcd03.jpg)
故V 棱台
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/bf/8bf8bd83a7f0a9b99e6a9014cc3a4156.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/1a/01afcb9bc16e5d430e8a6f2bd55afce8.jpg)
∴V=V 正方体 -V 棱台
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/a3/6a30304d2eb6f3d5888b0e0b03fd6c65.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/07/4070449fab8d3dba96431c15bee7ae5c.jpg)
如图,在正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,E、F、G分别是CB、CD、CC 1 的中点.
(本大题12分)如图,在棱长为ɑ的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,E、F、G分别是CB、CD、CC
在棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中,设E为CC'中点,(1)求证BD垂直AE
如图,正方体ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC 1 上的动点,过点A,P
已知正方体ABCD-A’B’C’D’中,P、Q、R分别为BC、CD、CC’的中点.(1) 判断直线B’D’与平面PQR的
已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长是4,E、F分别是AB、AD的中点,G为CC'中点,求平
如图,正方体的棱长为1,C、D分别是两条棱的中点,A、B、M是顶点,那么点M到截面ABCD的距离是多少?
已知E,F,G,H分别是正方体ABCD-A'B'C'D的棱BC,CC',C'D'和AA'的中点
已知在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是棱BC,CC'的中点,求EF与A'C'所成角的大小
已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a,E,F分别是AB,CC'的中点,求直线EF与BD'所成的角
如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a,E,F分别是棱AB,BC的中点
如图,已知ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 是棱长为3的正方体,点E在AA 1 上,点F在CC 1 上,且AE=