为什么不共线的3个向量为基底就能代表所有向量

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/06 01:40:50

首先,是3个不共面的向量才可以作为3维空间的一组基底表示3维空间内所有向量
由于3个向量不共面,所以没有2个向量共线.
1.任取其中两个（假设为A,B）,则向量A与向量B构成一平面,在此平面内的所有向量均可表示为xA+yB的形式,其中x,y为待定系数（此性质可由向量的三角法则简单的构造证明）.
2.假设基底中另一向量为向量C,任取3维空间中一向量M,将这两个向量分别向AB平面作投影,得到AB平面内的向量c,m与垂直于平面AB的向量c',m'.由1中知,c=x1A+y1B,m=x2A+y2B.其中x1,x2,y1,y2为系数.由于c'与m‘分别垂直与平面AB,故此两向量平行,即m'=zc',其中z为系数.
3.由2,向量M=m+m'=x2A+y2B+zc'=x2A+y2B+z(C-c)=(x2-x1)A+(y2-y1)B+zC=xA+yB+zC,其中x=x2-x1,y=y2-y1,z均为参数.
由此证明3维空间内任意向量均可由此三不共面向量表示,还可证明此表示唯一（即系数x,y,z唯一）,此处省略.

平面向量基底证明如果证明一组已知向量为平面内所有向量的基底? 关于平面向量基本定理我想问的是为社么基底不共线呢,共线会怎么样已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+se2,要使a,b能作为平面内所有向量的一组基底,则实数S的取值范围设e1,e2为两个不共线的向量,a=－e1＋3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,试以b,c为基底表示向量一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所以向量的基底下列向量中,能作为表示他们所在平面内所有向量的基底的是? 什么样的向量能构成一组基底? 设向量e1,向量e2是两个不共线的向量,向量AB=2向量e1+k向量e2,向量CB=向量e1+3向量e2, 空间向量的基底已知a向量,b向量是两个不共线的非零向量,它们的起点相同,且a向量,tb向量,1/3(a向量+b向量）3个向量的终点在同设向量a,向量b为不共线的两个向量零向量等于零向量吗?零向量与零向量共线吗?零向量不是与所有向量共线吗,为什么很多问共线的问题答案都没零向量